(整理)级数审敛法小结

精品文档精品文档级数审敛法小结不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢.首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法.第一节:正项级数(当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了)(注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。)A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.):首先,了解一个充要条件:1nUn收敛部分和数列{Sn}有界，针对这个东西，用的地方不多后面会有介绍。B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对正项级数而言，不能滥用）。对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要精品文档精品文档找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性）例1：设k，m为正整数，.0,000ba（这里主要是保证以下的多项式恒为正）是推导出级数1110110......nkkkmmmbnbnbanana收敛的充要条件。解：设kkkmmmnbnbnbananau......110110。取mknnv1，因为00limbavunnn，所以11,nnnnvu具有相同的敛散性，由Vn收敛的充要条件是k-m1，所以所求级数的收敛的充要条件是k-m1.（这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数13235523)()12()1(nnnnnn是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母的是15,15-13=21,故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本题构造Vn去做）2，这个例题的解法具有一般性。设0nu，我们只需要找到Un的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn，如果Vn的敛散性我们已经掌握，问题解决。大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题：（1）);1tan()3(,,)cos1(),2(,,sin)1(13222112nNnnannanan精品文档精品文档（通过上面的一点，大家感悟一下，有没有什么收获，这只是如何一眼看出敛散性的其中一个，接下来会继续介绍，但希望大家先消化一下刚刚说的内容。）C.比值审敛法：比值审敛法的内容与书中所说并无差异。关键是我们要能够灵活运用，这需要我们能多做一些习题。先看一下几个例子：判断下列级数的敛散性111!)3(!)2()1(nnnnnnknnnaan解答是利用比值审敛法即可，（由于这个公式好多有点难打就不打了啊，请原谅）大家应该都懂得就是nnnuu1lim判断其和1的关系。以上结果为全部收敛。（小结：1，在级数一般项Un中，若含有!.,,nannnnk的因子时，适用于比值审敛法,2，我们可以得到如下常用函数的级别大小（a1，k1,）nnknnannn!ln，记住这个顺序，有助于我们对某些级数敛散性的初步判别，也就是在我们计算之前，就可以估计出敛散性。）(结合上面讲过的那个，我们基本上就能初步判定一些级数的敛散性了)D.根值审敛法。这里由于和书上无太多差别，就不多做介绍了。根值判别法，主要适用于一般项中含有n次方的时候。他与比值判别法属于同一类型的审敛法，当用根植判别法不行时，不要再去用比值判别法做了，效果一样。对于根值判别法有一点需注意：当遇到一般项含n次方时里应用根植判别法，而nnnulim不存在时，可以改用如下的方法：若n从精品文档精品文档某个标号起存在r使得1runn（注意此处并无极限符号），则级数必收敛。因为nnru，且1nnr收敛。（简单地说就是进行一点放缩）当比值审敛法，根植审敛法失效时，一般应考虑比较审敛法，寻找同阶或是等价的无穷小。另外，我们要积累一些简单的级数如几何级数，调和级数，p-级数，以及1)(ln1npnn（p1时收敛，p=1时发散，这个可以当做定理用的）第二节交错级数对于交错级数而言，它分为条件收敛和绝对收敛两类。对于判断绝对收敛时，我们可以利用正项级数的判别方法去判定。而对于条件收敛的判定课本上给出了一个方法（除此，并无其他较好的方法去解决此类问题）：莱布尼兹判别法。A.莱布尼兹判别法：（注意运用此方法千万要慎重，注意观察An的单调性是否递减，以及最终是否趋近于0等，一旦有一个条件不满足，我们便不能再去用此方法。而在我们做题时总会有那么几题不适用，这就要求我们要懂得一些小技巧）一，泰勒公式（此法对于我们来说有一定的难度，建议不到万不得已不想此法）：利用泰勒展开式判断敛散性；例判别级数：111lnnnn的敛散性。（对于这个交错级数，我们不能判定单调性，因此无法利用精品文档精品文档莱布尼兹判别法。要掌握一般项nunn11ln的级别，我们运用泰勒公式。）解：有泰勒公式：是收敛的发散，而级数级数n1-1n21,211121lim1211)1(1lnn1nnonnonnonnnnnn所以原级数发散。二，这个技巧比泰勒公式弱了点，他是要求我们要懂得把一个交错级数（可能适用于多种级数，大家可以试一下），拆成两项或是多项相加减的形式（这里，我们要懂得一些收收为收，收发为发，发发不确定（一旦有两个发散的级数在里面则拆分失败）的道理。）例如，判别级数111nnnn的敛散性。（这是一个交错级数，尽管n1nuu,0但nu不成立，莱布尼兹失效。）但我们可以这样解：111)1(1)1(n)1()1()1(unnnnnnnnnnn对于前一项利用莱布尼兹判别法可知其条件收敛，而后一项精品文档精品文档发散，可知其整体为发散。故原级数发散。三，定义法（可能有些题，既不能运用莱布尼兹，也不好拆分，这就要求我们能回归原始，利用级数收敛的定义去解题）一般此类题比较难出现的可能性较小，这里只举一例。例，判别级数nNn)1()1(的敛散性。首先，看其是否绝对收敛，设nnnu)1(1，这里我们直接可以看出其发散，因为分母的最高次幂为1/2,接下来判断其是否条件收敛：nnsn21121...415121312此部分和S2n的各项都是负数，因此其单调减少，又因为，212212121221...416121412nnnsn，所以数列s2n有极限，设snsussssNnnnnnnnnnn)1(121limlimlimlimlim2122122所以原级数收敛条件收敛。（这类题比较难做，出现的几率不大，但也希望大家能做一下了解）精品文档精品文档Over最后做一个补充：如何一眼看出一些级数的敛散性。针对正项级数而言：设Un和Vn都是正项级数则有：（麻烦大家试着证明一下，收敛都收敛，则和）若（）收敛。（收敛，收敛，收敛，则）若（nnnnann1nknvuvu21anuuuuu1n试着用一下吧：已知正项级数收敛1nna则31)1(nannn。。。。要求直接不用计算说出答案。谢谢大家精品文档精品文档