高中物理选修3-3第八章 气体 第3节 理想气体的状态方程

第3节理想气体的状态方程目标导航学习目标1.能说出理想气体模型的特点。2.掌握理想气体状态方程的公式。3.会运用理想气体状态方程解决实际问题以及图象问题。重点难点重点:对理想气体状态方程的理解及应用。难点:图象的转化问题。注意T与t的区别。激趣诱思如图所示的储气罐中存有高压气体,在其状态发生变化时,还遵守气体实验定律吗?低温状态气体还遵守实验定律吗?为什么?简答:在高压、低温状态下,气体状态发生改变时,将不会严格遵守气体实验定律了,因为在高压、低温状态下,气体的状态可能已接近或达到液态,故气体实验定律将不再适用。预习导引一、理想气体1.物理模型:为了研究问题的方便,可以设想一种气体,在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律,我们把这样的气体叫作理想气体。2.简化条件:在温度不低于零下几十摄氏度、压强不超过大气压的几倍时,实际气体可以当成理想气体来处理。预习交流教材中多次提到了“理想气体”,你是如何理解理想气体的?答案:(1)理想气体是为了研究问题方便提出的一种理想模型,是实际气体的一种近似,实际上并不存在,就像力学中质点、电学中点电荷模型一样。(2)从宏观上讲,实际气体在压强不太大、温度不太低的条件下,可视为理想气体。而在微观意义上,理想气体是指分子本身大小与分子间的距离相比可忽略不计且分子间不存在相互作用的引力和斥力的气体。二、理想气体状态方程1.内容:描述气体的三个状态参量p、V、T都发生变化时,压强p跟体积V的乘积与热力学温度T的比值保持不变,这就是理想气体状态变化时所遵从的规律。2.数学表达式:(1)𝑝1𝑉1𝑇1=𝑝2𝑉2𝑇2。(2)𝑝𝑉𝑇=C,其中C是与p、V、T无关的常量。一、理想气体及其状态方程知识精要1.理想气体的特点(1)理想气体严格遵守气体实验定律及理想气体状态方程。(2)理想气体分子本身不占有空间。(3)理想气体分子无相互作用的引力和斥力。(4)理想气体无分子势能,内能等于所有分子热运动的动能之和,内能只与温度有关。2.理想气体状态方程与气体实验定律𝑝1𝑉1𝑇1=𝑝2𝑉2𝑇2⇒𝑇1=𝑇2时,𝑝1𝑉1=𝑝2𝑉2(玻意耳定律)𝑉1=𝑉2时,𝑝1𝑇1=𝑝2𝑇2(查理定律)𝑝1=𝑝2时,𝑉1𝑇1=𝑉2𝑇2(盖—吕萨克定律)由此可见,三个气体实验定律是理想气体状态方程的特例。3.应用理想气体状态方程解题的一般步骤(1)明确研究对象,即一定质量的气体;(2)确定气体在始末状态的参量p1、V1、T1及p2、V2、T2;(3)由理想气体状态方程列式求解;(4)讨论结果的合理性。思考探究请根据一定质量的理想气体的状态方程推导出含有密度的表达式。答案:一定质量的理想气体的状态方程为𝑝1𝑉1𝑇1=𝑝2𝑉2𝑇2,等式两边分别除以被研究气体的质量m,可以得到方程𝑝1𝜌1𝑇1=𝑝2𝜌2𝑇2,这就是一定质量的理想气体的状态方程含有密度的表达式。典题例解【例1】如图所示,粗细均匀、一端封闭一端开口的U形玻璃管。当t1=31℃、大气压强为p0(相当于76cm高水银柱产生的压强)时,两管水银面相平,这时左管被封闭的气柱长L1=8cm,求:(1)当温度t2是多少时,左管气柱L2为9cm;(2)当温度达到上问中的温度t2时,为使左管气柱长L为8cm,应在右管中加入多长的水银柱。解析:(1)初状态:p1=p0,V1=L1S,T1=304K;末状态:p2=p0+276p0=7876p0V2=L2S根据理想气体状态方程𝑝1𝑉1𝑇1=𝑝2𝑉2𝑇2代入数据得T2=351K,t2=78℃。(2)设应在左管中加入hcm高水银柱,p3=p0+h=p0+ℎ76p0=76+ℎ76p0,V3=V1=L1S,T3=T2=351K根据理想气体状态方程𝑝1𝑉1𝑇1=𝑝3𝑉3𝑇3代入数据得h=11.75cm。答案:(1)78℃(2)11.75cm迁移应用一个半径为0.1cm的气泡,从18m深的湖底上升。如果湖底水的温度是8℃,湖面的温度是24℃,湖面的大气压强是p0(大小相当于76cm高水银柱产生的压强),那么气泡升至湖面的体积是多少?(ρ水=1.0g/cm3、ρ汞=13.6g/cm3)解析:由题意可知V1=43πr3≈4.19×10-3cm3p1=p0+𝜌汞·ℎ水76𝜌汞p0=p0(1+1.0×18×10276×13.6)≈2.74p0T1=(273+8)K=281Kp2=p0T2=(273+24)K=297K根据理想气体的状态方程𝑝1𝑉1𝑇1=𝑝2𝑉2𝑇2得V2=𝑝1𝑉1𝑇2𝑝2𝑇1=2.74𝑝0×4.19×10-3×297281𝑝0cm3≈0.012cm3。答案:0.012cm3二、理想气体状态变化图象知识精要1.一定质量的气体不同图象的比较名称图象特点其他图象等温线p-VpV=CT(C为常量)即pV之积越大的等温线对应的温度越高,离原点越远p-1Vp=CTV,斜率k=CT即斜率越大,对应的温度越高名称图象特点其他图象等容线p-Tp=CVT,斜率k=CV,即斜率越大,对应的体积越小p-t图线的延长线均过点(-273.15,0),斜率越大,对应的体积越小等压线V-TV=CpT,斜率k=Cp,即斜率越大,对应的压强越小V-tV与t成线性关系,但不成正比,图线延长线均过点(-273.15,0),斜率越大,对应的压强越小2.一般状态变化图象的处理方法基本方法:化“一般”为“特殊”,如图是一定质量的某种气体的状态变化过程A→B→C→A。在V-T图线上,等压线是一簇延长线过原点的直线,过A、B、C三点作三条等压线分别表示三个等压过程pApBpC,所以A→B压强增大,温度降低,体积缩小,B→C温度升高,体积减小,压强增大,C→A温度降低,体积增大,压强减小。典题例解【例2】如图所示,水平放置的汽缸内壁光滑,活塞厚度不计,在A、B两处设有限制装置,使活塞只能在A、B之间运动,B左边汽缸的容积为V0,A、B之间的容积为0.1V0。开始时活塞在B处,缸内气体的压强为0.9p0(p0为大气压强),温度为297K,现缓慢加热缸内气体,直至399.3K。求:(1)活塞刚离开B处时的温度TB;(2)缸内气体最后的压强p;(3)在图中画出整个过程的p-V图线。解析:(1)活塞刚离开B处之前的状态变化可看作等容变化。初状态:p1=0.9p0,T1=297K,V1=V0;末状态:p2=p0,T2=TB,V2=V0;由查理定律𝑝1𝑇1=𝑝2𝑇2得0.9𝑝0297K=𝑝0𝑇𝐵,解得TB=330K。(2)最后状态p3=p,T3=399.3K,V3=V0+0.1V0=1.1V0,由理想气体状态方程𝑝1𝑉1𝑇1=𝑝3𝑉3𝑇3得0.9𝑝0×𝑉0297=𝑝×1.1𝑉0399.3解得p=1.1p0。(3)如图所示,状态的变化是先等容升温到状态2,再等压缓慢升温,变化到末态体积,最后再等容升压到最终状态。答案:(1)330K(2)1.1p0(3)见解析图迁移应用如图所示,a、b、c三点表示一定质量理想气体的三个状态,则气体在a、b、c三个状态的热力学温度之比是()A.1∶1∶1B.1∶2∶1C.3∶4∶3D.1∶2∶3解析:根据理想气体状态方程𝑝𝑉𝑇=C可知,T∝pV,所以Ta∶Tb∶Tc=paVa∶pbVb∶pcVc=3∶4∶3,选项C正确。答案:C理想气体质量变化时怎样用状态方程一容器有一小孔与外界相通,温度为27℃时容器中气体的质量为m,若使温度升高到127℃,容器中气体的质量为多少?解析:容器内气体p1=p2,T1=300K,T2=400K,根据𝑝1𝜌1𝑇1=𝑝2𝜌2𝑇2得𝜌1𝜌2=𝑇2𝑇1=43,而m=ρV,则m2=ρ2V=34ρ1·V=34m。所以容器内气体质量还剩34m。答案:34m方法规律对于一定质量的理想气体,在状态(p1,V1,T1)时密度为ρ1,则ρ1=𝑚𝑉1,在状态(p2,V2,T2)时密度为ρ2,则ρ2=𝑚𝑉2,将V1=𝑚𝜌1、V2=𝑚𝜌2代入状态方程𝑝1𝑉1𝑇1=𝑝2𝑉2𝑇2得𝑝1𝜌1𝑇1=𝑝2𝜌2𝑇2,此方程与质量无关,可解决变质量问题。1.关于理想气体,下列说法正确的是()A.温度极低的气体也是理想气体B.压强极大的气体也遵从气体实验定律C.理想气体是对实际气体的抽象化模型D.理想气体实际并不存在解析:气体实验定律是在压强不太大、温度不太低的情况下得出的,温度极低、压强极大的气体在微观上分子间距离变小,趋向于液体,故答案为C、D。答案:CD2.关于理想气体的状态变化,下列说法中正确的是()A.一定质量的理想气体,当压强不变而温度由100℃上升到200℃时,其体积增大为原来的2倍B.一定质量的理想气体由状态1变到状态2时,一定满足方程𝑝1𝑉1𝑇1=𝑝2𝑉2𝑇2C.一定质量的理想气体体积增大到原来的4倍,可能是压强减半,热力学温度加倍D.一定质量的理想气体压强增大到原来的4倍,可能是体积加倍,热力学温度减半解析:理想气体状态方程𝑝1𝑉1𝑇1=𝑝2𝑉2𝑇2中的温度是热力学温度,不是摄氏温度,选项A错误,选项B正确;将数据代入公式中即可判断选项C正确,选项D错误。答案:BC3.一定质量的理想气体,由状态a经b变化到c,如图所示,则图中能正确反映出这一变化过程的是()解析:由题图知:a→b过程为气体等容升温,压强增大,b→c过程为气体等温降压,根据玻意耳定律,体积增大,由此可知,选项C正确。答案:C4.一定质量的理想气体,其状态变化如图中箭头所示顺序进行,则AB段是过程,遵守定律;BC段是过程,遵守定律;若CA段是以纵轴和横轴为渐近线的双曲线的一部分,则CA段是过程,遵守定律。答案:等容查理等压盖—吕萨克等温玻意耳