导数与生活中的优化问题及综合应用

2014高考会这样考1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值等综合问题；2.利用导数研究方程根的个数，证明不等式或不等式恒成立问题；3.利用导数解决实际问题．复习备考要这样做1.理解数形结合思想、转化思想在导数中的应用；2.会建立函数模型解决不等式问题、实际问题等．导数与生活中的优化问题及综合应用自主梳理2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤基础练习BC6(-2,2)f(a)f(b)144cm3题型一运用导数证明不等式问题(1)解f′(x)＝x－ax＝x2－ax(x0)，若a≤0时，f′(x)0恒成立，∴函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．若a0时，令f′(x)0，得xa，∴函数f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a)．例1(2011·张家口模拟)已知f(x)＝12x2－alnx(a∈R)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.例1(2011·张家口模拟)已知f(x)＝12x2－alnx(a∈R)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.故F′(x)＝2x2－x－1x.∴F′(x)＝x－12x2＋x＋1x.(2)证明设F(x)＝23x3－(12x2＋lnx)，∵x1，∴F′(x)0.∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数．又F(x)在(1，＋∞)上连续，F(1)＝160，∴F(x)16在(1，＋∞)上恒成立．∴F(x)0.∴当x1时，12x2＋lnx23x3.变式练习当0xπ2时，求证：tanxx＋x33.证明设f(x)＝tanx－x＋x33，则f′(x)＝1cos2x－1－x2＝tan2x－x2＝(tanx－x)(tanx＋x)．因为0xπ2，所以xtanx，所以f′(x)0，即x∈0，π2时，f(x)为增函数．所以x∈0，π2时，f(x)f(0)．而f(0)＝0，所以f(x)0，即tanx－x＋x330.故tanxx＋x33.考点二：求含参数的函数的最值例2：设a0，函数f(x)＝alnxx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝a·1－lnxx20，得0xe；由f′(x)0，得xe.故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．(2)∵f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[a,2a]上的最小值[f(x)]min＝min{f(a)，f(2a)}．∵f(a)－f(2a)＝12lna2，∴当0a≤2时，[f(x)]min＝lna；当a2时，[f(x)]min＝ln2a2.已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是__________．变式练习[4，＋∞)例3：某汽运集团公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了x(0x1)，本年度出厂价比上年度降低了0.9x.(1)若本年度年销售量比上年度增加了0.6x倍，问x在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？(2)若本年度年销售量y关于x的函数为y＝2011·－x2＋5934x＋307289，则当x为何值时，本年度年利润最大？考点三生活中的优化问题变式练习在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)63d解析如图所示，为圆木的横截面由b2＋h2＝d2，∴bh2＝b(d2－b2)．设f(b)＝b(d2－b2)，∴f′(b)＝－3b2＋d2.令f′(b)＝0，由b0，∴b＝33d，且在(0，33d)上f′(b)0，在[33d，d]上f′(b)0.∴函数f(b)在b＝33d处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝63d.