导数压轴题

导数压轴题9．(能力挑战题)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点．(2)若f(x)为12，32上的单调函数，求a的取值范围．[解析]∵f′(x)＝ax2－2ax＋1ex1＋ax22，(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0⇒x1＝12，x2＝32，x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴x1＝12是极大值点，x2＝32是极小值点．(2)记g(x)＝ax2－2ax＋1，则g(x)＝a(x－1)2＋1－a，∵f(x)为12，32上的单调函数，则f′(x)在12，32上不变号，∵ex1＋ax220，∴g(x)≥0或g(x)≤0对x∈12，32恒成立，又g(x)的对称轴为x＝1，故g(x)的最小值为g(1)，最大值为g12.由g(1)≥0或g12≤0⇒0a≤1或a≥43，∴a的取值范围是0a≤1或a≥43.10．(能力挑战题)函数f(x)＝xlnx－ax2－x(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值．(2)若函数f(x)的图象在直线y＝－x图象的下方，求a的取值范围．(3)求证：2013201220122013.[解析](1)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx－2ax，∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即－2a＝0，∴a＝0.∴f′(x)＝lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在x＝1处取得极值．(2)由题意，得xlnx－ax2－x－x，∴xlnx－ax20.∵x∈(0，＋∞)，∴alnxx.设h(x)＝lnxx，则h′(x)＝1－lnxx2.令h′(x)0，得0xe，∴h(x)在(0，e)上为增函数；令h′(x)0，得xe，∴h(x)在(e，＋∞)上为减函数．∴h(x)max＝h(e)＝1e，∴a1e.(3)由(2)知h(x)＝lnxx在(e，＋∞)上为减函数，∴h(x)h(x＋1)，∴lnxxlnx＋1x＋1.∴(x＋1)lnxxln(x＋1)，∴lnxx＋1ln(x＋1)x，∴xx＋1(x＋1)x.令x＝2012，得2012201320132012.11．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax1－x(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若数列{am}的通项公式am＝1＋12013×2m＋12013(m∈N*)，求证：a1·a2·…·am3(m∈N*)．[解析](1)由题意，函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝11＋x－a1－x2，当a≤0时，注意到11＋x0，a1－x2≤0，所以f′(x)0，即函数f(x)的增区间为(－1,1)，(1，＋∞)，无减区间；当a0时，f′(x)＝11＋x－a1－x2＝x2－2＋ax＋1－a1＋x1－x2，由f′(x)＝0，得x2－(2＋a)x＋1－a＝0，此方程的两根x1＝a＋2－a2＋8a2，x2＝a＋2＋a2＋8a2，其中－1x11x2，注意到(1＋x)(1－x)20，所以f′(x)0⇔－1xx1或xx2，f′(x)0⇔x1x1或1xx2，即函数f(x)的增区间为(－1，x1)，(x2，＋∞)，减区间为(x1,1)，(1，x2)．综上，当a≤0时，函数f(x)的增区间为(－1,1)(1，＋∞)，无减区间；当a0时，函数f(x)的增区间为(－1，x1)，(x2，＋∞)，减区间为(x1,1)，(1，x2)，其中x1＝a＋2－a2＋8a2，x2＝a＋2＋a2＋8a2.(2)当a＝1时，由(1)知，函数f(x)＝ln(1＋x)－x1－x在(0,1)上为减函数，则当0x1时，f(x)＝ln(1＋x)－x1－xf(0)＝0，即ln(1＋x)x1－x，令x＝12013×2m＋1(m∈N*)，则ln1＋12013×2m＋112013×2m，12．已知函数f(x)＝x22＋a3ln(x－a－a2)，a∈R且a≠0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，若a2＋ax1x2a2－a，证明：fx2－fx1x2－x1a22－a.[解析](1)由题意，f′(x)＝x＋a3x－a－a2＝x2－a＋a2x＋a3x－a－a2＝x－ax－a2x－a－a2.令f′(x)0，因为x－a－a20，故(x－a)(x－a2)0.当a0时，因a＋a2a且a＋a2a2，所以上面不等式的解集为(a＋a2，＋∞)，从而此时函数f(x)在(a＋a2，＋∞)上单调递增．当a0时，因aa＋a2a2，所以上面不等式的解集为(a2，＋∞)，从而此时函数f(x)在(a2，＋∞)上单调递增，同理此时f(x)在(a＋a2，a2]上单调递减．(2)证法一：要证原不等式成立，只需证明f(x2)－f(x1)(x2－x1)a22－a，只需证明f(x2)－a22－ax2f(x1)－a22－ax1.因为a2＋ax1x2a2－a，所以原不等式只需证明函数h(x)＝f(x)－a22－ax在x∈(a2＋a，a2－a)内单调递减．由(1)知h′(x)＝x－a22－a＋a3x－a－a2＝x2－32a2x＋a42＋a32－a2x－a－a2，因为x－a－a20，我们考察函数g(x)＝x2－32a2x＋a42＋a32－a2，x∈(a2＋a，a2－a)．因a2＋a＋a2－a2＝a2x对称轴＝3a24，且3a24a2－a，所以g(x)≤g(a2－a)＝0.从而知h′(x)0在x∈(a2＋a，a2－a)上恒成立，所以函数h(x)＝f(x)－a22－ax在x∈(a2＋a，a2－a)内单调递减．从而原命题成立．证法二：要证原不等式成立，只需证明f(x2)－f(x1)(x2－x1)a22－a，只需证明f(x2)－a22－ax2f(x1)－a22－ax1.又a2＋ax1x2a2－a，设g(x)＝f(x)－a22－ax，则欲证原不等式只需证明函数g(x)＝f(x)－a22－ax在x∈(a2＋a，a2－a)内单调递减．由(1)可知g′(x)＝f′(x)－a22－a＝x＋a3x－a－a2－a22－a＝x－a－a2＋a3x－a－a2＋a＋a2－a22－a.因为a0，所以y＝x－a－a2＋a3x－a－a2在(a2＋a，a2－a)上为增函数，所以g′(x)≤g′(a2－a)＝a2－a－a－a2＋a3a2－a－a－a2＋a＋a2－a22－a＝0.从而知g′(x)0在x∈(a2＋a，a2－a)上恒成立，所以函数g(x)＝f(x)－a22－ax在x∈(a2＋a，a2－a)内单调递减．从而原命题成立．13．已知函数f(x)＝exsinx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)如果对于任意的x∈1，π2，f(x)≥kx总成立，求实数k的取值范围；(3)设函数F(x)＝f(x)＋excosx，x∈－2011π2，2013π2.过点Mπ－12，0作函数F(x)图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{xn}，求数列{xn}的所有项之和S的值．[解析](1)由于f(x)＝exsinx，所以f′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝2exsinx＋π4.当x＋π4∈(2kπ，2kπ＋π)，即x∈2kπ－π4，2kπ＋3π4时，f′(x)0；当x＋π4∈(2kπ＋π，2kπ＋2π)，即x∈2kπ＋3π4，2kπ＋7π4时，f′(x)0.所以f(x)的单调递增区间为2kπ－π4，2kπ＋3π4(k∈Z)，单调递减区间为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)．(2)令g(x)＝f(x)－kx＝exsinx－kx，要使f(x)≥kx总成立，只需x∈0，π2时g(x)min≥0.g′(x)＝ex(sinx＋cosx)－k，令h(x)＝ex(sinx＋cosx)，则h′(x)＝2excosx0，x∈0，π2，所以h(x)在0，π2上为增函数，所以h(x)∈[1，e]．对k分类讨论：①当k≤1时，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在0，π2上为增函数，所以g(x)min＝g(0)＝0，即g(x)≥0恒成立；②当1ke时，g′(x)＝0在[1，e]上有实根x0，因为h(x)在0，π2上为增函数，所以当x∈(0，x0)时，g′(x)0，所以g(x0)g(0)＝0，不符合题意；③当k≥e时，g′(x)≤0恒成立，所以g(x)在0，π2上为减函数，则g(x)g(0)＝0，不符合题意；综合①②③可得，所求的实数k的取值范围是(－∞，1]．(3)因为F(x)＝f(x)＋excosx＝ex(sinx＋cosx)，所以F′(x)＝2excosx，设切点坐标为(x0，ex0(sinx0＋cosx0))，则斜率为F′(x0)＝2ex0cosx0，切线方程为y－ex0(sinx0＋cosx0)＝2ex0cosx0·(x－x0)，将Mπ－12，0的坐标代入切线方程，得－ex0(sinx0＋cosx0)＝2ex0cosx0·π－12－x0，整理得－tanx0－1＝－2x0－π－12，即tanx0＝2x0－π2，令y1＝tanx，y2＝2x－π2，则这两个函数的图象均关于点π2，0对称，它们交点的横坐标也关于π2对称且成对出现，方程tanx＝2x－π2，x∈－2011π2，2013π2的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{xn}的项也关于π2对称且成对出现，在－2011π2，2013π2内共构成1006对，每对的和为π，因此数列{xn}的所有项的和S＝1006π.14．已知函数f(x)＝lnx－px＋1.(1)求函数f(x)的极值点；(2)若对任意的x0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围；(3)证明：ln222＋ln332＋…＋lnnn22n2－n－14n＋1(n∈N，n≥2)．[解析](1)∵f(x)＝lnx－px＋1，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－pxx，当p≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上无极值点；当p0时，令f′(x)＝0，∴x＝1p∈(0，＋∞)，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x0，1p1p1p，＋∞f′(x)＋0－f(x)递增极大值递减从上表可以看出：当p0时，f(x)有唯一的极大值，当x＝1p时，f(x)＝－lnp；即函数f(x)的极值点是－1p，－lnp.(2)当p0时，在x＝1p处取得极大值f1p＝ln1p，此极大值也是最大值，要使f(x)≤0恒成立，只需f1p＝ln1p≤0；∴p≥1，∴p的取值范围为[1，＋∞)．(3)令p＝1，由(2)知，lnx－x＋1≤0，∴lnx≤x－1，∵n∈N，n≥2，lnn2≤n2－1，∴lnn2n2≤n2－1n2＝1－1n2，∴ln222＋ln332＋…＋lnnn2＝12ln2222＋ln3232＋…＋lnn2n2≤121－122＋1－132＋…＋1－1n2＝12n－1－122＋132＋…＋1n212(n－1)－12