有限元入门

有限元法的基本原理有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，单元之间仅在有限个节点上相连接，亦即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。几个关键点：“分”：连续体离散技术离散体（有限单元的集合）无限个自由度有限个自由度“合”：单元之间通过节点连接，并承受一定载荷，组成有限单元集合体，建立整个物体的平衡方程，实现对整体结构的综合分析。由于有限单元的分割和节点配置比较灵活，有限元法可以适用于任意复杂的几何结构。有限元法的基本思想有限元法基本思想•先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替•对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示--通常称为插值函数或位移函数•基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程）•借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。有限元法基本思想问题分析结构离散分片近似位移模式力学模型单元平衡网格划分整体平衡单元刚度问题求解总体刚度节点位移网格划分有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。通常把平面问题划分成三角形或四边形单元的网格，三维实体划分成4面体或6面体单元的网格。课程要求学分/学时：1.5/20+12先修课程：理论力学，材料力学，高等数学，线性代数教学目标：通过介绍有限元法的基本理论，使学生掌握有限元法的基本分析方法和常用的几种单元，了解有限元方法在塑性加工等领域的应用，为今后从事结构设计、分析及开展相关科学研究打下基础。使用教材：1.谭继锦.汽车有限元法.北京：人民交通出版社，2005.12.胡于进，王璋奇.有限元分析及应用.北京：清华大学出版社，20093.曾攀.有限元方法.北京：清华大学出版社，2004.6考试方法：笔试（60%）＋大作业（40%）使用软件：Dynaform和Deform二、塑性加工模拟分析方法塑性加工工艺模拟时采用的分析方法大致可以分为三类：第一、解析法，主要包括主应力法(切块法)、滑移线法和上限法，它们都属于塑性力学中的经典解法；第二、实验/解析法，即实验与解析的综合方法，有相似理论法和视塑性法；第三、数值法，它是随着计算机的发展和应用而产生的，包括有限元法、有限差分法、有限体积法、无网格法和边界元法，其中有限元法是一种广泛使用的方法。有限元法（FiniteElementMethod）有限元法是将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，这样的组合体能近似地模拟或逼近求解区域。由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可以具有不同的几何形状，因此可以模拟形状复杂的求解域，有限元法作为一种数值分析法的另一重要步骤是利用在每一单元内假设的近似函数来表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数在单元各个结点上的数值以及插值函数表达。这样一来，一个问题的有限元分析中，未知场函数的结点值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变为离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以利用插值函数确定单元组合体上的场函数。显然，随着单元数目的增加，亦即单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛性要求的，其近似解最后将收敛于精确解。边界元法（BoundaryElementMethod）边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。有限差分方法(FiniteDifferentialMethod)该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。有限体积法(FiniteVolumeMethod)其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。无网格法是近年来兴起的一种与有限元方法类似的数值方法。由于仅仅采用基于点的近似，而不需要节点的连接信息，无网格法不仅避免了繁琐的单元网格生成，而且提供了连续性好、形式灵活的场函数，具有前后处理简单、精度高等方面的优点。在处理裂纹扩展、多尺度分析、高速碰撞和具有大变形特征的工业成形问题时具有重要的研究价值和广阔的应用前景。无网格法（MeshlessMethod)三、塑性加工中的有限元法概述有限元法与其它塑性加工模拟方法相比，功能最强、精度最高、解决问题的范围最广。它可以采用不同形状、不同大小和不同类型的单元离散任意形状的变形体，适用于任意速度边界条件，可以方便地处理模具形状、工件与模具之间的摩擦、材料的硬化效应、速度敏感性以及温度等多种工艺因素对塑性加工过程的影响，能够模似整个金属成形过程的流动规律，获得变形过程任意时刻的力学信息和流动信息，如应力场、速度场、温度场以及预测缺陷的形成和扩展。1.塑性有限元法的分类塑性有限元法分为刚塑性有限元法(亦称流动型有限元法)和弹塑性有限元法(或固体型有限元法)。弹塑性有限元法同时考虑金属材料的弹性变形和塑性变形，弹性区域采用Hooke定律，塑性区采用Prantl-Reuss方程和Mises屈服准则，求解未知量是结点位移增量。弹塑性有限元法又分为小变形弹塑性有限元法和大变形有限元法。刚塑性有限元法不计弹性变形，采用Levy-Mises率方程和Mises屈服准则，求解未知量为结点位移速度。它通过在离散空间对速度的积分来解决几何非线性，因而解法相对简单，并且求解效率高，求解精度可以满足工程要求。塑性有限元常用软件通用有限元软件：ANSYS、MARC、ABQUS板料成形专用软件：DANAFORM、SUPERFORM、AUTOFORM体积成形专用软件：DEFORM、FORGE1-4有限元法基本思想•先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；----即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替•对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示--通常称为插值函数或位移函数•基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程）•借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。网格划分有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。通常把平面问题划分成三角形或四边形单元的网格，三维实体划分成4面体或6面体单元的网格。1-7有限单元法的基本内容有限元法的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是泛函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载体是有限元分析软件。必须掌握的基本内容应包括：1、基本变量和力学方程（即弹性力学的基本概念）2、数学求解原理（即能量原理）3、离散结构和连续结构的有限元分析实现（有限元分析步骤）4、有限元法的应用（即有限元法的工程问题研究）5、各种分析建模技巧及计算结果的评判6、学习典型分析软件的使用，初步掌握一种塑性有限元软件注意：会使用有限元软件不等于掌握了有限元分析工具思考题参考书目思考题：什么是有限元法？简述有限元法的基本思路。举例说明有限元法在塑性成形和焊接上的应用情况。第一章弹性力学简介1-1材料力学与弹性力学1-2应力的概念1-3位移及应变，几何方程，刚体位移1-4应力应变关系，物理方程1-5虚功原理及虚功方程1-6两种平面问题1-1材料力学与弹性力学有限单元法—本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。弹性力学—区别与联系—材料力学1、研究的内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。弹性力学—区别与联系—材料力学3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。弹性力学—区别与联系—材料力学弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。弹性力学固有弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：弹性力学中关于材料性质的假定(1)物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置坐标而变。弹性力学中关于材料性质的假定(4)物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。1-2应力的概念作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号来表示。体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。、、1-2应力的概念弹性体内微小的平