第9讲-回归旋转设计

110第九讲回归旋转设计分析方法REGRESSIONROTATABLEDESIGN回归旋转设计是在回归正交设计的基础上发展而来的。但后者的预测值Yˆ的方差很大程度上依赖于试验点在因子空间的位置。由于误差的干扰，试验不能根据预测值直接寻找最优区域。若使用二次设计具有旋转性，便能使与试验中心点距离相等的试验点上的预测值方差相等。将有助于克服回归正交设计的不足。故此，本讲着重讨论二次回归旋转设计及分析。第一节二次通用旋转设计的方法一、试验点的确定二次旋转设计也是一种组合设计（为克服试验规模过于庞大，在因素空间中选择n类具有不同特点的点，把它们适当组合起来而形成试验计划）。它的试验处理数目N由三部分组成，即：N=mc+2P+m0（9—1）其中：mc为所选用正交表中的全试验数；p为试验因素的个数；m0为各因素零水平组成的中心试验点的重复数。N个试验点是分布在三个半径不相等的球面上。其中mc个点分布在半径pc=p的球面上；2p个点分布在半径pγ=γ的球面上；m0个点集中在半径p0=0的球面上。因此，它满足了旋转性和非退化性。有关m0的重复次数，二次旋转组合设计对m0的选择是自由的，即使中心点的试验一次也不做，也不会影响旋转性，但中心点附近区域往往是我们所关心的区域，而且中心点重复试验能给出回归方程在中心点的拟合情况。所以，中心点m0的重复试验是很有必要的。m0因p不同而不同。现将通用旋转设计的一些有关参数列于表9—1，供设计时查用。表9—1二次通用旋转设计的参数表因素个数（p）Nmc2pm0γ2345（1/2实施）6（1/2实施）7（1/2实施）8（1/2实施）8（1/4实施）134451.44208661.6823116872.00032161062.00053321292.378926414142.82816512816213.364936416132.828表9—1中γ值可按下式计算)4(2ip(9—2)111式中：p为因素个数；i为实施情况，当试验全实施时i=0，1/2实施时i=1；1/4实施时i=2。二、二次旋转计划的安排设为研究的因素有p个，分别以Z1、Z2、…、Zp表示，每因素的上水平为Zi2，下水平为Zi1，零水平为Zi0，变动区间（Δi）为：)39(2210iiiZZZ△)49(12iiiZZ其中r值可按p的个数及实施情况查表9—1或按9—2式计算，然后编制因素水平的编码表9—2。表9—2因素水平的编码表xiaZ1Z2……Zpγ10－1－γZ12Z10+△1Z10Z10－△1Z11Z22Z20+△2Z20Z20－△2Z21…………………………Zp2ZP0+△PZP0ZP0－△pZP1第二节二次通用旋转设计的结果分析一、回归系数的计算在二次通用旋转设计中，回归系数按下列各式计算：)59()()()(),,2,1()(21211210aaiapaiaiiaajicjiaiaiaiapayEyxGyxGFbyxxmbyxebNayxEyKb式中各常数e，k，E，F，G等按下式计算：)(2])1()2([])1([2])1([222214121142442ccccccNmeHGerHEepNmpNfHFmpfHrKpeNmpNfrHrmfrme（9—6）式中的N，mc，p，r值均按p的个数查表9—1所得，如p=2时，查表9—1，得N=13，mc=4，r=1.414，代入（9—6）式得：112e=4+2(1.414)2=8f=4+2(1.414)4=11.995H=2(1.414)4[13×11.995+（2-1）13×4－2×82]=639.094┊为方便见，一些常用的数据列于表9—3中，以供查用。表9—3二次通用旋转组合设计的一些常数因素个数PKEFGe2345（1/2实施）56（1/2实施）7（1/2实施）0.20000－0.10000.14370.01878.0000.1663－0.05680.06940.006913.6560.1428－0.003570.03500.003724.0000.1591－0.03410.03410.002824.0000.0988－0.01910.01800.001543.3140.01108－0.01870.01680.001243.3140.0703－0.00980.00830.000580.000二、回归方程的显著性检验设二次通用旋转设计N个组合的试验结果为Y1，Y2，…Yn，则它们的总平方和与自由度为：)79(1/)(22NdfNyySSTT剩余平方和与自由度为：22202)(])([)(PQiiijijiiiQCNdfyxbyxxbyxbybySS(9—8）回归平方和与自由度为：122PUQUCdfSSSSySS（9—9）误差平方和与自由度为：1)()(00202020010mdfmyyyySSeme（9—10）失拟平方和与自由度为：1022mcNdfSSSSSSpeQ失失（9—11）检验时先对失拟均方进行显著性检验，即：22eSSF失（9—12）若不显著，可对回归方程进行显著性检验；若F值显著或极显著，则要进一步考察原因，改变二次回归模型，说明存在着不可忽略因素的影响。对回归方程进行显著性检验，即：11322QUSSF（9—13）三、回归系数的显著性检验可采用t测验，即：200eKSbt21eiiSebt21ecjijiSmbt2eiiiiFSbt（9—14）若2失S不显著（9-12）可用2QS代2eS（9-14）第三节二次通用旋转设计的实例分析一、编制编码表安排试验有一个三因素的试验，各个因素的水平编码如表9—4，由表9—1查得γ=1.628，于是，表9—4中的变动区间Δi为：△1=1586.14682.155801012ZZ△2=3073.29682.1701202022ZZ△3=891.89682.11503003033ZZZ1（+1）=Z10+△1=55+15=70Z1（-1）=Z10-△1=55-15=40Z2（+1）=Z20+△2=70+305=100Z2（-1）=Z20-△2=70-305=40Z3（+1）=Z30+△3=150+89=239Z3（-1）=Z30-△3=150-89=61表9—4三个因素水平编码表因素xiaZ1Z2Z3+γ+10-1-γ8012030070100239557015040406130200Δi153089按通用旋转设计，查表9—1，三个因素的处理组合N=20，其中mc=8，2p=6，m0=6，于是可得表9-5114的20个处理组合，其中：处理1为：x1=70，x2=100，x3=239处理2为：x1=70，x2=100，x3=61┆┆┆┆处理9为：x1=80，x2=70，x3=150处理10为：x1=30，x2=70，x3=150┆┆┆┆处理15-20为：x1=55，x2=70，x3=150经试验后，把试验结果列于表9-5中的最后一列（y）。表9-5三因素二次通用旋转设计结果78.49993.5549.5438.26.212.1558.14799.11678.1062.8050.440000000001203.420000000001196.430000000001185.430000000001172.420000000001163.430000000001153.14828.200000682.1001141.52828.200000682.1001138.560828.200000682.101121.290828.200000682.101114.2800828.200000682.11106.5300828.200000682.1194.30111111111183.45111111111179.15111111111162.32111111111155.43111111111140.72111111111132.24111111111125.48111111111112322213231213210aiyxyxxxxxxxxxxxxx处理号二、试验结果分析（一）由表（9-3）中查得有关常数代入（9-5）式计算各回归系数104.43)78.49993.5549.543(0568.02.8051663.0)(210aiapayxEyKb807.10656.13/58.147/567.8656.13/99.116/819.7656.13/78.106/332211eyxbeyxbeyxbaaaaaa35.08/8.2/)(70.28/6.21/)(90.18/2.15/)(322331312121caacaacaamyxxbmyxxbmyxxb115469.32.8050568.0)78.49993.5549.543(0069.078.449)0069.00694.0()()(022.02.8050568.0)78.49993.5549.543(0069.039.554)0069.00694.0()()(711.02.8050568.0)78.49993.5549.543(0069.09.543)0069.00694.0()()(223332222222111aaiaaaaaiaaaaaiaaayEyxGyxGFbyEyxGyxGFbyEyxGyxGFb于是得到回归方程为：232221323121321469.3022.0711.035.070.290.1807.10567.8819.7104.43ˆxxxxxxxxxxxxy（二）回归方程的显著性检验，依公式可得下列各平方和及自由度。65.370720/)2.805(9.36108/)(222NyySST974.13)]78.499469.3()93.554022.0()9.543711.0[()]8.235.0()6.217.2()2.159.1[()]58.1478.10()99.116567.8()78.106819.7[()2.805104.43(9.36108)())(()(202yxbiiyxjxbijyxbybYSSiiiiQ676.3693974.1365.3707QTUSSSSSS108.36)4.43.43(4.42.4234.43)(22220202010myySSmeSS失=SSQ－SSe=13.974－3.108=10.866dfT=N―1=20―1=19dfQ=N―25C=20―10=10dfU=25C―1=9dfe=m0－1=6－1=5df失=20―10―6+1=5对失拟均方进行显著性检验依496.35108.35866.10S2Q2失SF查F值表，F0.05(5，5)=5.05，p0.05，说明不存在其它有影响的因素，故可作方差分析。表9-6回归结果的方差分析650.370719397.1974.131094.4**69.293408.410676.3693901.02总变异剩余回归）（变异来源FFSMSSSdfF检验结果表明：二次回归方程与实际情况拟合很好，可用来预测，试验误差方差的估计值为：397.110/974.13ˆQeMS，相关指数R2=3693.676/3707.65=