矩阵复习总结

1矩阵知识点复习21.矩阵的定义mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211记作简记为nmijaAnmA或),,2,1;,,2,1(njmianmij个数由列的数表，行排成的nm.矩阵简称nm实矩阵:元素是实数复矩阵：元素是复数3一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵2.矩阵的基本运算矩阵相等:同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）加法满足.1ABBA交换律：.2CBACBA结合律：.4OAA.,03是同型矩阵与其中OAAA4数乘满足);()(AA;)(AAA.)(BABA数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为AAA()ijAAa矩阵与矩阵相乘：()(),,ijijmssnABab设规定(),ijmnABCc其中11221(1,2,,;1,2,)sijijijissjikkjkcababababimjn5乘法满足);()(BCACAB);(),()()(为数其中BABAAB;)(,)(CABAACBACABCBA.EAAAEnnmnmnmm矩阵乘法不满足：交换律、消去律6A是n阶方阵，个kkAAAA方阵的幂：方阵的多项式：0111)(axaxaxaxfkkkk0111)(aAaAaAaAfkkkkEmkmkAAAkmmkAA并且（m,k为正整数）方阵的行列式：满足:;1AAT;2AAnBAAB37转置矩阵:3一些特殊的矩阵:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.AAA满足：;1AATT;2TTTBABA;3TTAA.4TTTABAB对称矩阵和反对称矩阵：AAAATTAA是反对称矩阵是对称矩阵8伴随矩阵：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵AijAnnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.EAAAAA93.逆矩阵定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得ABBAE则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.判定定理:n阶方阵A可逆0A11AAA且推论：设A、B为同阶方阵，若,ABE则A、B都可逆，且11ABBA，10111111111,(0)()(),()()TTAAAAAAAA满足规律：逆矩阵求法：（1）伴随矩阵法（2）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．4.分块矩阵115.初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii)1(1kckrii)(ckcrkrjiji))(()(ckcrkrjiji12矩阵的等价：初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价。记作~AB三种初等变换对应着三种初等方阵：初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵6.初等矩阵初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。1(,)(,)EijEij11(())(())EikEik1(())(())EijkEijk137.初等矩阵与初等变换的关系：初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵阶初等矩阵。乘一个相应的的右边相当于在施行一次初等列变换，对阶初等矩阵；的左边乘一个相应的相当于在施行一次初等行变换，矩阵，对是设nAAmAAnmA定理：14.,,)(,1AEEAEAA变成了就原来的时变成当把施行初等行变换只需对分块矩阵的逆矩阵要求可逆矩阵.,,1AEEAEA就变成了原来的时变成当把施行初等列变换或者对分块矩阵即，1,AEEA，初等行变换1AEEA初等列变换8.用初等变换法求矩阵的逆矩阵15注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．169矩阵方程例:解矩阵方程,,,AXBXABAXBC其中均为可逆矩阵。,AB注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。矩阵方程解BAX1BAX1BCAX11BAXBXACAXB17在一个m×n矩阵A中，位于这些行和列的交叉点上的2k个元素按原来的次序组成一个k阶行列式，称为A的一个k阶定义1.任取k行k列，10矩阵的秩kmnmin(,)子式，这里矩阵A中不等于零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩,记为R(A)定义2.18(1)秩为r的矩阵可能有等于零的r，r-1阶子式。(2)()()TRARA注意：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.（3）初等变换不改变矩阵的秩（4）则A，B等价的充要条件是R(A)=R(B)设A，B都是m×n矩阵，