高等量子力学-薛定谔方程-绘景变换-海森堡绘景

§11运动方程§11-1薛定谔方程§11-2演化算符§11-3绘景变换薛定谔绘景§11-4海森伯绘景§11-5连续性方程*§11-6相互作用绘景§11-1薛定谔方程微观系统的状态t随时间的变化遵从薛定谔方程tHtti(11.1)薛定谔方程适用于粒子有自旋或无自旋以及单粒子或多粒子等所有情况.当单粒子有自旋时,态矢量和哈密顿分别是位形空间和自旋空间二者的直积空间中的矢量和算符;当系统是多粒子系统时,则是多个单粒子空间的直积空间中的矢量和算符.系统的运动方程取决于系统本身的情况和外部环境,而外部环境通常是电磁场和各种模型中的势场.当系统的线度不大时外加的宏观电磁场可以看成是均匀的,但可随时间变化,哈密顿中的明显含时因素几乎全部出自外电磁场的变化.哈密顿的具体形式,其空间运动部分可以从经典分析力学中的哈密顿函数tpxH,,得到,只要将x和p换成粒子的位置算符X和动量算符P(见§6-4),即可得出哈密顿算符.例如单粒子情况,带电荷q的粒子在电磁场,A中运动时,其经典哈密顿为VqAqpmH221V是其它因素对哈密顿的贡献.因此单粒子的哈密顿算符为VqAqPmH221(11.2)其中tRtRAA,,,将上式右方的括号展开,可得VqAqPmH221VqAmqAmqiPAmqPmH2222221AiPAAP(11.3)RBA21对于均匀磁场B，矢势A可以写成而0A,式中的2A项,由于数量级小,可以略去.注意这时BMBLmqLBmqPRBmqPRBmqPAmq2222(11.3)式右方第二项成为222241BRBRA从(11.4)式得到一个重要的结论,即带电粒子的轨道磁矩算符为LmqM2(11.5)BzBmMllM,122(11.6)124TJ102740154.92meB玻尔磁子：在L的本征态lm中,轨道磁矩的大小及其z分量取确定值,例如对于电子有于是单粒子的哈密顿可以写成VqAmqAmqiPAmqPmH2222221VqBMPmH221(11.4)哈密顿中自旋在外磁场B中的能量附加项为BmeBSmeBM2(11.8)一个电子的自旋磁矩与自己的轨道磁矩的相互作用能,例如对类氢离子中的电子为LSRRRcmZe12412220(11.9)讨论原子问题时,常在(11.4)式的哈密顿上,加上自旋引起的能量(11.8)和(11.9)式.这些都相当于(11.4)式中的V这一项.电子的自旋磁矩算符为SmeMS(11.7)VqBMPmH221含有自旋的薛定谔方程,写成zS表象22矩阵形式的泡利方程(9.3)式时成为LSRfBSmeHItiti式中H为(11.2)式或(11.3)式;I为22的单位矩阵.在描写状态的2行1列矩阵中,和都是zyx,,和t的函数.VqAmqAmqiPAmqPmH2222221VqBMPmH221§11-2演化算符薛定谔方程(11.1)是时间的一阶微分方程,因此当初态0t给定时,原则上即可解出任意时刻t的状态t.由此可以定义一个演化算符0,ttU,使其满足00,tttUt(11.11)显然,0,ttU的具体形式取决于薛定谔方程(11.1)中的哈密顿H.将(11.11)式代入薛定谔方程(11.1)式中得0000,,tttHUtttUti00,,ttHUttUti(11.12)00,,ttHUttUti当H中不显含时间时,此式在1,00ttU的初始条件下的解为HttiettU00,(11.13)这就是当H不显含t时演化算符的具体形式.这是一个幺正算符,因而知态矢量的归一化性质不随时间改变,若0t是归一化的,则t对一切时间都是归一化的.当哈密顿tH中显含时间时,由于1tH和2tH不一定对易,(11.13)不再成立,但演化算符的微分方程(11.12)式原则上也应有解.下面给出一种原则方法.将(11.12)式两边对t积分,得ttttdtttUtHittU00101101,,即ttdtttUtHittU010110,1,这是一个积分方程.可以用叠代法写出它的形式解.逐次进行叠代,得0,ttU的级数解为ttttdtdtttUtHitHittU0101202210,11,nttnttnttntHtHtHdtdtdtin21211101001(11.14)式中各个积分中的变量nttt,,,21,必须满足:0121ttttttnn为将此式写得更整齐些,引入,tt其定义为tttttt若若,0,1(11.15)这样将上式中的积分上限全部写成t,则有21121100001,ttttdtdtdtittUttnttnttnnnntHtHtHtt211(11.16)nttnttnttntHtHtHdtdtdtittUn212110101001,再定义一个时序算符C,它作用在一系列时间函数的乘积上,使这一乘积的次序重新排列,时间大的因子排在前边(左边),按时间依次排列,时间最小的因子在最右边,即nnnntHtHtHtttttttHtHtHC211322121求和是对nttt,,,21的一切排列进行,因此上式右边共有!n项,但是对于每一组nttt,,,21的值,只有一项不为零.将此式两边对nttt,,,21积分,右边!n项中的每一项都给出相同的贡献,于是,可以把(11.16)式改写成nnnntHtHtHtttttttHtHtHC211322121nttnttnttntHtHtHCdtdtdtinttU212110000!11,(11.17)简记为如下紧凑的记号:ttdHiCttU0exp,0当H中不含t时,此式即回到(11.13)式.HttiettU00,21121100001,ttttdtdtdtittUttnttnttnnnntHtHtHtt21111100)(!11,nttnndttHinttU§11-3绘景变换薛定谔绘景量子力学中的各种关系式,可以直接用矢量和算符表示,也可以取不同的表象,用矩阵表示.不同表象中的矢量和算符,通过一个不含时间的幺正矩阵(4.10)联系起来.一个关系式在不同表象中的形式是完全平行和等价的.到现在为止,我们已经把量子力学的基本规律和各种关系式差不多都建立起来了,表现为希尔伯特空间中的矢量和算符的各种关系式.现在取一个含时间的幺正算符tU,作用在所有的矢量和算符上,按(2.29)和(2.30)的方式进行幺正变换.这样也会得到另一套完全平行和等价的关系式,但其形式会发生较大的变化.这时我们说,幺正变换tU使我们得到量子力学关系式的另一个绘景.改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换,使得在新的绘景中为解决某一具体问题带来一些方便.首先,把作绘景变换之前迄今已经讨论的内容,作为一个绘景,并称之为薛定谔绘景.为了同新的绘景相区别,把迄今为止的矢量t和算符A写作St和SA.薛定谔绘景的特点就是态矢量是含时的,并且服从薛定谔方程:SSStHtti(11.18)而算符一般则是不含时的(一些含时的微扰除外,这种情况我们暂不考虑),这样就有0SAti(11.19)在薛定谔绘景中还可以取各种表象,每一种表象都同一组特定的基矢相联系，而基矢是不含时的。设想我们去看希尔伯特空间，我们应该看到，描写状态的态矢量都是按一定规律运动的,每一组基矢则是静止的,态矢量的各种表象,不论写成矩阵形式或函数形式,都是随时间变化的。因为它们是运动的态矢量在静止的基矢上的分量.§11-4海森伯绘景当系统的哈密顿SH不含时间时,可以建立海森伯绘景:保持希尔伯特空间中的基矢框架不动,将St连同所有描写物理量的算符SA,全部进行一个含时的幺正变换.幺正变换选用这个系统的演化算符0,tU的逆算符去进行,即含时的幺正算符是StHietUtU,00,1(11.20)式中SH是这个系统的薛定谔绘景中的哈密顿.若SH本身含有时间,则此式不成立,无法建立海森伯绘景.我们称这样变换后的态矢量和算符为海森伯绘景中的态矢量和算符,记作H和tAH:SSHttU00,1(11.21)海森伯绘景的特点：态矢量H不随时间变化,而描写物理量的算符则是随时间变化的.0Hti(11.22)SStHiStHiHeAetitAtiSStttUt00,0,0,1tUAtUtASHSStUt00,SStHiStHiHeAetitAtiSSSStHiSStHitHiSStHieHAeeAHeHHHHHtAtAH于是得HHHHHHtAtAHtAti，,此式就是在海森伯绘景中的运动方程.它描写了算符tAH随时间变化的规律,称为海森伯方程.由变换方程(11.21)式可知SHHH所以可以将哈密顿算符右上角表示绘景的标记略去.StHitHiStHiStHiHHeeHeHeHSSSSSStHitHiee(11.23)守恒量系统的H不含时间时,若物理量A在海森伯绘景中的算符HA不随时间而变,则A称为守恒量.由(11.23)知,A是守恒量的条件为HHHHHHtAtAHtAti，,0,HAH或0,SAH显然,不含时的哈密顿H本身是一个守恒量.事实上,由于0,SAH,对于守恒量A来说,有StHiStHiHAeAeASS守恒量的重要性质是守恒量SA在系统的任意含时态St中取各值ia的概率不随时间变化.可根据原理2证明这一性质.守恒量SA既然同哈密顿H对易,那么含有SA的一组厄米算符完备组SSBHA,,中一定含有H.用B代表完备组中其余的厄米算符,它们的共同的本征矢量可以写成kjibEa式中jiEa,和kb分别是HAS,和B的本征值.将系统的态矢量St按这套本征矢量展开:ijkijkkjiScbEatijkijkkjiScbEat其中HtHikjiSkjiijkSebEatbEatcHkjitEiHtEikjibEaeebEajj因此2ijkc是不含时间的。物理量SA在态St中取值ia的概