2020年三月高三-第一次在线大联考理科数学及解析

理科数学第1页（共17页）2020届高三第一次在线大联考数学（新课标Ⅱ卷）理科2020年3月（满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．若21iiz，则z的虚部是A．3B．3C．3iD．3i2．已知集合2{|1}Axx,2{|log1}Bxx，则A．{|02}ABxxB．{|2}ABxxC．{|2}ABxxD．{|12}ABxx3．已知等差数列{}na的前n项和为nS，262,21aS，则5aA．3B．4C．5D．64．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方”，则在五边形AGFID内随机取一个点，此点取自朱方的概率为A．1637B．949C．937D．311理科数学第2页（共17页）5．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论错误的是A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重为2.5%D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%6．函数cos()cosxxfxxx在[2,2]的图象大致为AB理科数学第3页（共17页）CD7．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为A．96B．84C．120D．3608．已知直线30xym过双曲线C：22221(0,0)xyabab的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若||||FAFO（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为A．2B．31C．5D．519．如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点P在线段1CB上，且12BPPC，平面经过点1,,APC，则正方体1111ABCDABCD被平面截得的截面面积为A．36B．26C．5D．53410．已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于,PQ两点.若2211||,||,||,||QFPFPFQF依次构成等差数列，且1||PQPF，则椭圆C的离心率为A．23B．34C．155D．10515理科数学第4页（共17页）11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等.记区域A为不平等区域，a表示其面积，S为OKL△的面积，将GiniaS称为基尼系数.对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()yfx，则对(0,1)x，均有()1fxx；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])yxx，则1Gini4；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])yxx，则1Gini2.其中正确的是：A．①④B．②③C．①③④D．①②④12．定义：()()Nfxgx表示不等式()()fxgx的解集中的整数解之和.若2()|log|fxx，2()(1)2gxax，()()6Nfxgx，则实数a的取值范围是A．(,1]B．2(log32,0)C．2(2log6,0]D．2log32(,0]4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量,ab的夹角为2π3,则|2|ab=_________.14．若π1sin(),(0,π)63，则πcos()12_________.理科数学第5页（共17页）15．已知数列{}na中，nS为其前n项和，11a，12nnnaa，则6a_________，200S_________.16．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足22cosabBc.（1）求角C的大小；（2）若ABC△的面积为332，求ABC△的周长的最小值.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PAB△是等边三角形，BCAB，23BCCD，2ABAD.（1）若3PBBE，求证：AE∥平面PCD；（2）若4PC，求二面角APCB的正弦值．19．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，直线l交C于,AB两点（异于坐标原点O）.（1）若直线l过点F,12OAOB，求C的方程；（2）当0OAOB时，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.理科数学第6页（共17页）20．（本小题满分12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.21．（本小题满分12分）已知函数ln()exxfxa.（1）若()fx在[1,2]上是减函数，求实数a的最大值；（2）若01a，求证：2ln()afxa.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程理科数学第7页（共17页）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1cos|sin|xy(为参数).在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为πsin()36.（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值与最小值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|||2|fxxx.（1）求()fx的最小值；（2）求不等式|4|()xfxx的解集.理科数学第8页（共17页）全解全析123456789101112BDCCDABBBDAD1．B【解析】因为1i2i13iz，所以z的虚部是3.故选B．2．D【解析】因为2{|1}{|11}Axxxx,2{|log1}{|02}Bxxxx,所以{|01}ABxx,{|12}ABxx,故选D．3．C【解析】方法一：设等差数列{}na的公差为d，则112656212adad，解得111ad，所以51(51)15a.故选C．方法二：因为166256()3()2aaSaa，所以53(2)21a，则55a.故选C．4．C【解析】由题图得，3,4ABBGCI，根据题意得22345DI.五边形AGFID的面积为112534343722AGFIDS五边形，正方形ABCD的面积为9，因此，所求概率为937P.故选C．5．D【解析】CPI一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项A正确；吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%50%，选项B正确；猪肉在CPI一篮子商品中所占权重为2.5%，选项C正确；猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重为4.6%，选项D错误.故选D．6．A【解析】因为(0)1f，所以排除C、D．当x从负方向趋近于0时，0coscosxxxx，可得0()1fx.故选A．7．B【解析】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共444A96个，其中含有2个10的排列数共24A12个，所以产生的不同的6位数的个数为961284.故选B．8．B【解析】直线30xym的倾斜角为π3，易得||||FAFOc．设双曲线C的右焦点为E，理科数学第9页（共17页）可得AFE△中，90FAE，则||3AEc，所以双曲线C的离心率为2313cecc.故选B．9．B【解析】延长1CP与BC交于点E，则点E为BC中点，连接AE，取11AD中点F，连接AF，1CF，则四边形1AECF就是正方体1111ABCDABCD被平面截得的截面,四边形1AECF是边长为5的菱形，连接1,ACEF，所以1ACEF，且123,22ACEF，所以四边形1AECF的面积为26,故选B．10．D【解析】如图所示，设2211||,||,||,||QFPFPFQF依次构成等差数列{}na，其公差为d.根据椭圆定义得12344aaaaa，又123aaa，则1111111()(2)(3)4()2aadadadaaadad，解得25da，12342468,,,5555aaaaaaaa.所以18||5QFa，16||5PFa，24||5PFa，6||5PQa.在12PFF△和1PFQ△中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos4666225555aacaaaFPFaaaa，整理解得10515cea.故选D．11．A【解析】对于①，根据基尼系数公式GiniaS，可得基尼系数越小，不平等区域的面积理科数学第10页（共17页）a越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x，均有()fxx，可得()1fxx，所以②错误.对于③，因为1223100111()d()|236axxxxx，所以116Gini132aS，所以③错误.对于④，因为1324100111()d()|244axxxxx，所以114Gini122aS，所以④正确.故选A．12．D【解析】由题意得，()()6Nfxgx表示不等式22|log|(1)2xax的解集中整数解之和为6.当0a时，数形结合（如图）得22|log|(1)2xax的解集中的整数解有无数多个，22|log|(1)2xax解集中的整数解之和一定大于6.当0a时，()2gx，数形结合（如图），由()2fx解得