数学建模《数学模型》

第二章数学建模初步2.1数学模型与数学建模2.2数学建模的步骤和方法2.3数学建模实例分析2.4数学模型的特点和分类2.5数学建模的学习方法与数学建模竞赛简介玩具、照片、飞机模型……~直观模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征2.1数学模型与数学建模我们常见的模型你碰到过的数学模型——“行程问题”解：设甲、乙速度分别为x、y，列出方程组：答：甲速为86米/分，乙速为74米/分.A、B两地相距960米，甲乙两人分别从A、B两地同时出发。若相向行走，6分钟相遇；若同向行走，80分钟甲追上乙。问甲、乙速度各为多少?x=86y=74求解96080)(9606)(yxyx行程问题建立数学模型的基本步骤•作出简化假设（甲、乙速度为常数）；•用符号表示有关量（x,y表示甲速和乙速）；•用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程组）；•求解得到数学解答（x=86,y=74）；•回答原问题（甲速为86米/分，乙速为74米/分）。数学模型(MathematicalModel)建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模（MathematicalModeling)2.2.1数学建模的基本步骤模型准备模型假设模型构建模型求解模型分析模型检验模型应用2.2数学建模的步骤与方法2.2.2数学建模方法•机理分析•测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型•综合分析用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数2.3数学建模示例2.3.1方桌问题模型假设•四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;•地面高度连续变化，可视为数学上的连续面;把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，就放稳了。为什么？模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来•椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置•四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离xBADCOD´C´B´A´椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()–g(),则h(0)0和h(/2)0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的零点定理,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子？和f(),g()的确定2.3.2席位的公平分配系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.5乙6331.5丙3417.0总和200100.020.02021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.00021问题三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10,6,4席.因学生转系,三系人数为103,63,34,如何分配20席?若代表会议增加1席，如何分配21席?比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.00021背景Hamilton(比例加惯例)方法------1792年美国国会用于分配各州众议员名额已知:m方人数分别为p1,p2,…,pm,记总人数为P=p1+p2+…+pm,待分配的总席位为N.记qi=Npi/P,称为第i方的份额(i=1,2,…,m)•各方先分配qi的整数部分[qi],总余额为miiqNN1][•记ri=qi-[qi],则第i方的分配名额ni为其他个最大的],[,][iiiiqNrqn1Hamilton方法的不公平性1.p1,p2,…,pm不变,N的增加会使某个ni减少(上例).系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.00021Hamilton方法的不公平性2.N不变,pi比pj的增长率大,会使ni减少nj增加(下例).pinii=110310i=2636i=3344总和20020pi1146338215增长率10.6%11.7%ni116320“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数席位A方p1n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2时，分配公平p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5•实际上右面对A的不公平程度已大大降低!•虽然左右两种情况的绝对不公平度相同.若p1/n1p2/n2，对不公平Ap1/n1–p2/n2=5公平分配方案应使rA,rB尽量小设A,B已分别有n1,n2席,若增加1席,问应分给A,还是B?不妨设分配开始时p1/n1p2/n2，即对A不公平.),(///21222211nnrnpnpnpA~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1p2/n2，定义1）若p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1+1)p2/n2，3）若p1/n1p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给应讨论以下几种情况:初始p1/n1p2/n2问：p1/n1p2/(n2+1)是否会出现？A否!若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给B“公平”分配方法当rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给ArA,rB的定义)1()1(11212222nnpnnp该席给A否则,该席给B,2,1,)1(2innpQiiii定义该席给Q值较大的一方推广到m方分配席位minnpQiiii,,2,1,)1(2计算该席给Q值最大的一方Q值方法“公平”分配方法三系用Q值方法重新分配21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席3.964334,5.9476632322QQ第21席,4.80121110321QQ2,Q3同上Q3最大，第21席给丙系甲系11席,乙系6席,丙系4席Q值方法分配结果公平吗？Q1最大，第20席给甲系,4.96111010321Q模型的公理化研究Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的公理(1974)份额qi=Npi/P,分配名额ni=ni(N,p1,…,pm)已知p1,p2,…,pm,P,N1)[qi]ni[qi]+1(i=1,2,…m)~公平分配性2)ni(N,p1,,…pm)ni(N+1,p1,…,pm)~名额单调性•“比例加惯例”方法满足公理1，但不满足公理2.•Q值方法满足公理2,但不满足公理1（如下例）.模型的公理化研究pi9521716151000qi95.21.71.61.5100ni94222100i=1i=2i=3i=4不存在满足上述公理的席位分配方法(1982)公平的席位分配•建立“公平分配席位”模型的关键是建立衡量公平程度的数量指标.•在以相对不公平度为衡量指标的前提下,Q值方法比“比例加惯例”方法更加公平.•如果采用公理化方法——提出公平分配席位的理想化原则，那么该问题尚未解决——已证明不存在满足一组公理的席位分配方法.年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长2.3.3人口发展问题指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)中学数学思想kkrxx)1(0x(t)~时刻t的人口基本假设:人口(相对)增长率r是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长ttrxtxttx)()()(?阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设)0,()(srsxrxrr~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrr是x的减函数mxrs0)(mxrrxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0xmxm/2xmxtxxxemmrt()()110tx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)参数估计用阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r,xm•利用统计数据用最小二乘法作拟合（用MATLAB软件）例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4阻滞增长模型r=0.2557,xm=392.1xtxxxemmrt()()110模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)5.274)2000(x模型应用——预报美国2010年的人口Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)x(2010)=306.0xtxxxemmrt()()110令t=2000，r=0.2557,xm=392.1相对误差为2.5%例商人们怎样安全过河?问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人抢货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)~状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk