种群的相互依存

1种群的相互依存一,摘要:自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的。比方植物与昆虫，一方面植物为昆虫提供了食物资源，另一方面，尽管植物可以独立生存，但昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率。事实上，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系。本文从种群的增长规律出发，对Logistic模型进行修改，建立了可以独立生存、共处时又能互相提供食物的两种群的三种依存模型。并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析,得出了在共处的条件下两种群对对方相互作用的关系。关键词：Logistic模型微分方程组稳定点二，问题的重述情况1：如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物，则建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。情况2：如果甲能独立存在，而乙不能独立存在，甲乙在一起时能相互促进，使甲乙可以存活下来，则建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。情况3：如果两个种群都能不能独立生存，且在一起时相互促进增长，则建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。三，模型的的假设1.该区域内作为考虑对象的仅有两种群，若存在其他种群视其不对该两种群的发展产生影响。2.考虑的系统是封闭的，亦即无考虑种群物种个体的迁移。2.区域足够大，即可容纳足够多的种群个体，进而可视各种群个体数是可微的，且区域可提供种群存在的资源足够多但有限。四．符号的约定及名词解释t：时间1xt、2xt：表示处于相互依存关系中甲、乙二种群在时刻t的数量1,2N：两种群的最大容纳量，即分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量1,2r：两种群的固有增长率21：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲（相对于N1）消耗的供养甲食物量的1倍2：单位数量甲提供的供养乙的食物量为单位数量乙（相对于N2）消耗的供养乙食物量的2倍21/N表示一个单位数量的乙可充当种群甲的生存资源的量。12/N表示一个单位数量的甲可充当种群乙的生存资源的量。五．模型的建立情况1：如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic规律。由因为两种群均可独立生存，共处时又能相互提供食物。故种群甲乙的数量演变规律可以写作：'12111112'2122222111xxxtrxNNxxxtrxNN（1）求解模型令：121211112,1xxfxxrxNN（2）211222221,1xxgxxrxNN（3）令：1212112,1xxxxNN（4）2112221,1xxxxNN（5）由（2）（3）知，（1）为自治方程，为此：令：1212,0,0fxxgxx解为：311,0PN220,PN11223121211,11NNP40,0P此为（1）的四个平衡点。（1,20x）记1212xxxxffAgg(2)(3)12111111112222122222212122xxxrrrrNNNxxxrrrrNNN记12|ixxPpfgdet()|iPqA（1,2,3,4i）2142Ppq在iP处的值列表如下iPpq稳定条件1P1221rr2121rr不稳定2P2111rr2111rr不稳定3P112212111rr121212111rr1214P12rr12rr不稳定稳定性分析由表可知，只在121情况下，3P稳定，甲乙才分别趋向非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又互相提供食物，将使二者均趋向无穷。以（4）（5）式作图，并在1,20r，1,20x的背景下讨论。当σ11,σ1σ21相轨图如下：图14结果分析如下:当P1(N1,0)稳定，即能够独立生存的种群甲趋向最大容量，而不能独立生存的种群乙将灭绝。情况2：如果甲能独立存在，而乙不能独立存在，甲乙在一起时能相互促进，使甲乙可以存活下来乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)，故种群甲乙的数量演变规律可以写作：（1）求解模型121211112,1xxfxxrxNN（2）211222221,1xxgxxrxNN（3）1212112,1xxxxNN（4）2112221,1xxxxNN（5）由（2）（3）知，（1）为自治方程，为此：令：1212,0,0fxxgxx解为：221122221)(NxNxxrtx1111111)(Nxxrtx221Nx511,0PN112221212(1)(1),11NNP3(0,0)P此为（1）的3个平衡点。（1,20x）记1212xxxxffAgg2142Ppq记12|ixxPpfgdet()|iPqA（1,2,3,4i）在iP处的值列表如下稳定性分析以（4）（5）式作图，并在1,20r，1,20x的背景下讨论。由2p点的表达式容易看出，要使平衡点2p有实际意义，即位于相平面第一象限（1,20x），必须满足下面两个条件中的一个：1A：1＜1，2＞1，12＜12A：1＞1，2＜1，12＜1由表可知，仅在条件1A下2P才是稳定的。直线0和0将相平面（1,20x）划分成4个区域：1S：.1x＞0，.2x＜0；2S：.1x＞0，.2x＞0；3S：.1x平衡点pq)0,(11NP)1(221rr)1(221rr3(0,0)P21rr21rr112221212(1)(1),11NNP2121211)1)(1(rr2122111)1()1(rr6＜0，.2x＞0；4S：.1x＜0，.2x＜0。图1画出了条件1A下相轨线的示意图。图22P稳定的相轨线图(MATLAB模拟程序见附录)结果分析如下1＜1，2＞1即乙提供给甲的食物量大于甲消耗的供养甲的食物量，而甲提供给乙的食物量却小于乙消耗的供养乙的食物量。在121时，平衡点是112221212(1)(1),11NNP稳定的。此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。因此，在共处的条件下，两种群不会同时都对对方有很大的促进作用。情况3：如果两个种群都能不能独立生存，且在一起时相互促进增长.有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic规律。由因为两种群均不可独立生存，共处时又能相互提供食物。故种群甲乙的数量演变规律可以写作：'12111112'2122222111xxxtrxNNxxxtrxNN（1）求解模型7令：121211112,1xxfxxrxNN（2）211222221,1xxgxxrxNN（3）令：1212112,1xxxxNN（4）2112221,1xxxxNN（5）由（2）（3）知，（1）为自治方程，为此：令：1212,0,0fxxgxx解为：10,0P11222121211,11NNP此为（1）的四个平衡点。（1,20x）记1212xxxxffAgg记12|ixxPpfgdet()|iPqA（1,2,3,4i）2142Ppq在iP处的值列表如下pq稳定条件1P112212111rr121212111rr不稳定2P12rr12rr不稳定稳定性分析由表可知，无稳定的平衡点以.（4）（5）式作图，并在1,20r，1,20x的背景下讨论。8(1)σ21,σ1σ21图3结果分析:无稳定的平衡点，相互提供的食物可能使二者趋向无穷(2)σ11,σ21,σ1σ21图4结果分析:无稳定的平衡点，相互提供的食物可能使二者趋向无穷六参考文献1数学建模/姜启源，谢金星，叶俊编.—3版.—北京：高等教育出版社2数学建模与实验/陈恩水，王峰编.—北京：科学出版社，200893MATLAB数学建模与仿真/周品，赵新芬编著，—北京：国防出版社，2008.4七附录图一的MATLAB模拟程序设n1=100;n2=100;a=0.1;b=0.2;x0=25,y0=10;functionxdot=shier(t,x)n1=100;n2=100;a=0.1;b=0.02;xdot=[(1-x(1)/n1+a*x(2)/n2);(1-x(2))/n2+b*x(1)/n1];ts=0:0.1:15;x0=[25,10];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')'pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,