解析函数的概念与柯西黎曼方程

第一节解析函数的概念与柯西黎曼方程一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念2一、复变函数的导数与微分1.导数的定义:,,,)(00的范围不出点点中的一为定义于区域设函数DzzDzDzfw,)(.)(00的导数在这个极限值称为可导在那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz记作,)()(lim000存在如果极限zzfzzfz3在定义中应注意:.)0(00的方式是任意的即zzzz.)()(,0000都趋于同一个数比值时内以任意方式趋于在区域即zzfzzfzDzz.)(,)(可导在区域内就称我们内处处可导在区域如果函数DzfDzf4例1.)(2的导数求zzfzzfzzfzfz)()(lim)(0解zzzzz220)(lim)2(lim0zzz.2zzz2)(253.求导法则:求导公式与法则:.,0)()1(为复常数其中cc.,)()2(1为正整数其中nnzznn6).()()()()3(zgzfzgzf).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf)0)((.)()()()()()()()5(2zgzgzgzfzgzfzgzf)().()()]([)6(zgwzgwfzgf其中0)(,)()(,)(1)()7(wwzzfwwzf且函数两个互为反函数的单值是与其中72.可导与连续:函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证,0可导的定义根据在z,0,0,||0时使得当z,)()()(000zfzzfzzf有)()()()(000zfzzfzzfz令8,0)(lim0zz则)()(00zfzzf因为,)()(lim000zfzzfz所以.)(0连续在即zzf[证毕],)()(0zzzzf9例2.Im)(的可导性讨论zzfzzfzzfzf)()(解zzzzIm)Im(zzzzImImImzzImyixyix)Im(,yixy104.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致..)()(,)(,0)(lim,)()()()(,)(000000线性部分的的改变量是函数小的高阶无穷是式中则可导在设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz.)(,)()(000zzfdwzzfwzzf记作的微分在点称为函数定义11.)(,00可微在则称函数的微分存在如果函数在zzfz特别地,,)(时当zzfzwddzzf)(0,z,d)()(d00zzfzzfw0dd)(0zzzwzf即.)(00可微是等价的可导与在在函数zzzfw.)(,)(内可微区域在则称内处处可微区域在如果函数DzfDzf12二、解析函数的概念1.解析函数的定义.)(,)(000解析在那末称导的邻域内处处可及在如果函数zzfzzzf).()(.)(,)(全纯函数或正则函数个解析函数内的一区域是或称内解析区域在则称内每一点解析区域在如果函数DzfDzfDzf132.奇点的定义.)(,)(00的奇点为那末称不解析在如果函数zfzzzf根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.14例4.)(2)(,)(22的解析性和研究函数zzhyixzgzzf解;)(2在复平面内是解析的zzf;2)(处处不解析yixzg,)(2的解析性下面讨论zzhzzhzzh)()(00zzzz202015zzzzzzz0000))((,00zzzzz,0)1(0z.0)()(lim000zzhzzhz,0)2(0z,)(0000zxxkyyzz趋于沿直线令zzyixyixxyixyi11ikik1116,的任意性由于k.11不趋于一个确定的值kikizz.)()(lim000不存在zzhzzhz.,,,0)(2析它在复平面内处处不解根据定义不可导而在其他点都处可导仅在因此zzzh17例5.1的解析性研究函数zw解,01处处可导在复平面内除因为zzw,1dd2zzw且,0外处处解析在复平面内除所以zw.0为它的奇点z18定理.)()()()1(内解析在除去分母为零的点和、差、积、商的与内解析的两个函数在区域DzgzfD.)]([,)(,.)(,)()2(内解析在那末复合函数于都属的对应值函数内的每一个点对如果内解析平面上的区域在函数内解析平面上的区域在设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh以上定理的证明,可利用求导法则.19根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的..,)()()2(它的奇点使分母为零的点是的零的点的区域内是解析在不含分母为任何一个有理分式函数zQzP20思考题?)(00解析有无区别可导与在在点复变函数zzzf21思考题答案,)(00可导解析必在在点zzzf反之不对.,0)(02处可导在例如zzzf.00处不解析但在z放映结束，按Esc退出.22一、主要定理定理一.,),(),(),(:,)(,),(),()(xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf且满足柯西－黎曼方程偏导数都存在，在点与则可导内一点在则内定义在区域设函数23例4.00)(不可导西－黎曼方程但在点满足柯在点证明函数zzxyzf证,)(xyzf因为0,,vxyu所以0)0,0()0,(lim)0,0(0xuxuuxx),0,0(yv0)0,0(),0(lim)0,0(0yuyuuyy),0,0(xv00.0成立柯西－黎曼方程在点z24定理二.,,),(),(),(:)(,),(),()(xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf点满足柯西－黎曼方程并且在该可微在点与件是可导的充要条内一点在则内定义在区域设函数25证(1)必要性.,)(,),(),()(可导内一点在且内定义在区域设yixzDzfDyxivyxuzf0,yixz则对于充分小的,)()()()(zzzzfzfzzf有,0)(lim0zz其中,)()(viuzfzzf令,)(ibazf,)(21iz26viu所以)(iba)(yix)(21i)(yix)()(1221yxyaxbiyxybxa,21yxybxau于是.12yxyaxbv,0)(lim0zz因为100limyx所以200limyx,027,),(),(),(可微在点与由此可知yxyxvyxu.,xvyuyvxu且满足方程(2)充分性.)()(zfzzf)],(),([),(),(yxvyyxxviyxuyyxxu,viu由于,),(),(),(可微在点与又因为yxyxvyxu28,21yxyyuxxuu于是,43yxyyvxxvv)4,3,2,1(,0lim00kkyx其中)()(zfzzf因此.)()(4231yixiyyviyuxxvixu29)()(zfzzf)(yixxvixu.)()(4231yixi,,2xvixvyuyvxu由柯西－黎曼方程zzfzzf)()(xvixu.)()(4231zyizxi30,1,1zyzx因为,0)()(lim42310zyizxizzzfzzfzfz)()(lim)(0所以.xvixu.),(),()(可导在点即函数yixzyxivyxuzf[证毕]31:),(),()(,处的导数公式点在可得函数根据定理一yixzyxivyxuzf.1)(yvyuixvixuzf内解析的充要条件函数在区域D.,),(),(:),(),()(程并且满足柯西－黎曼方内可微在与内解析的充要条件是域在其定义函数定理二DyxvyxuDyxivyxuzf32解析函数的判定方法:.)(,)()1(内是解析的在解析函数的定义断定则可根据内处处存在的导数在区域数导法则证实复变函如果能用求导公式与求DzfDzf.)(,RC)),(,(,)(2)(内解析在的充要条件可以断定那么根据解析函数方程并满足可微因而、连续的各一阶偏导数都存在内在中如果复变函数DzfyxvuDvuivuzf33二、典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx解,)1(zw,,yvxu.1,0,0,1yvxvyuxu不满足柯西－黎曼方程,.,处处不解析在复平面内处处不可导故zw34)sin(cos)()2(yiyezfx,sin,cosyevyeuxx,sin,cosyeyuyexuxx,cos,sinyeyvyexvxx.,xvyuyvxu即四个偏导数均连续.,)(处处解析在复平面内处处可导故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx且指数函数35)Re()3(zzw,2xyix,,2xyvxu.,,0,2xyvyxvyuxxu四个偏导数均连续,,0满足柯西－黎曼方程时仅当yx,0)Re(处可导仅在故函数zzzw.在复平面内处处不解析36例2;)1(2z证明证,2)1(222xyiyxz,2,22xyvyxu.2,2,2,2xyvyxvyyuxxu,,0满足柯西－黎曼方程时仅当x,02上可导仅在直线故函数xzw.在复平面内不解析37例3解?)(,,,,),()(2222解析在复平面内处处取何值时问常数设zfdcbaydxycxibyaxyxzf,2ydxyv,2ayxxu,2byaxyu,2dycxxv,,xvyuyvxu欲使ayx2,2ydx,2byaxdycx2.2,1,1,2dcba所求38例7.,,),(),(0,)(,)(2121为常数其中必相互正交与那末曲线族且为一解析函数设cccyxvcyxuzfivuzf证)(zf因为,01yuiyv,不全为零与所以yuyv,都不为零与如果在曲线的交点处yuyv根据隐函数求导法则,39线的斜率分别为中任一条曲与曲线族),(),(21cyxvcyxu,,21yxyx