鸡兔同笼经典例题与解析(经典)

【例一】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚．问：点点家养的鸡和兔各有多少只？（基本假设法）【解析】方法一：抬腿法。每只动物都抬起2条腿，剩下94-35×2=24.剩下的每只兔子两条腿，所以共有12只兔子。方法二：假设35只都是兔子，那么就有354140×=(只)脚，假设的比实际的多了140-94=46(只)．多46只的原因是35只里不全是兔子，现在我们得把鸡给换回来，一只兔子换一只鸡会少2条腿，所以得换46÷2=23只鸡回来。方法三：还可以假设35只都是鸡，那么共有脚2×35=70(只)，比94只脚少了94-70=24(只)脚，每只鸡比兔子少2只脚，那么共有兔子24÷2=12(只)．要点：“抬腿”法简单易操作，但适用范围较小；“假设法“稍有难度，但必须掌握，因为假设法在以后很多题目中都会用到，比如工程问题和行程问题等。一般假设法总结：假设兔子，得出鸡；假设鸡，得出兔子。（方便孩子做题，但千万不能单纯记忆）【例题2】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？（变型假设法）【解析】方法一：假设鸵鸟数跟梅花鹿一样多，那么总脚数就得减去多出来20只鸵鸟的40只脚，新的总脚数就是168只。鸵鸟和梅花鹿一样多，所以梅花鹿的腿数是鸵鸟的两倍。那么168只就是3倍，所以梅花鹿的腿数是112条，就由28只，鸵鸟是48只。方法二：假设梅花鹿数跟鸵鸟一样多，那么总脚数就得增加80只脚，新的总脚数就是288只。梅花鹿和鸵鸟一样多，所以梅花鹿的腿数是鸵鸟的两倍。那么288只就是3倍，所以鸵鸟有96条腿，就有48只，梅花鹿有28只。要点：和倍问题与鸡兔同笼【例题3】在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？（变型题）【解析】假设都是三轮摩托车，应有3×41=123轮子，少了127-123=4(个)轮子．每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少4-3=1(个)轮子．汽车有4÷1=4(辆)；从而求出三轮摩托车有37辆．同理，可假设都是汽车。要点：基础变型练习，学生要敏锐的发现隐藏的鸡兔同笼。【例题4】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍．问：大、小和尚各有多少人？（变型题）【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得．如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解．假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多160个．现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3-1=2（个），因为160÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有100-80=20（人）．同样，也可以假设100人都是小和尚，这里不再作说明．要点：基础变型练习，学生要敏锐的发现隐藏的鸡兔同笼。【例题5】（中国古代僧粥问题）一百个和尚刚好喝一百碗粥，一个大和尚喝三碗粥，三个小和尚喝一碗粥，那么大和尚有多少个，小和尚有多少个？（变型题）【解析】我们把大碗换小碗，换小碗盛粥！把一大碗粥分成三小碗粥，则原题变为一百个和尚喝三百碗粥，一个大和尚喝九碗粥，一个小和尚喝一碗粥．然后仍然用假设法：假设都是小和尚，只能喝1×100=100（碗）粥，有一个大和尚被当成小和尚会少9-1=8（碗）粥，一共少了300-100=200（碗）粥．所以大和尚有200÷8=25（个）；小和尚有100-25=75（个）．要点：转化的思想，把大碗换小碗，换小碗盛粥。【例题6】工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？（变型题）【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差100+20=120（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要赔偿100元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费20×250=5000（元）．这样比实际多得5000-4400=600（元）．就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶．根据以上分析，可得损坏了600÷120=5个要点：一来一回是学生经常犯的错误。【例题7】甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各打10发，共得208分，最后甲比乙多得64分，乙打中多少发？【解析】乙得分为（208-64）÷2=72（分），如果乙每发都打中可以得20×10=200（分），脱靶一发少20+12=32（分）；乙脱靶（200-72）÷32=4（发），所以乙打中10-4=6（发）。要点-和差问题与鸡兔同笼【例题8】一张数学试卷，只有25道选择题．做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分．若小明得了78分，那么他做对____题，做错_____题，没做___题．（有难度的变型题）【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索．小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分．78÷419，所以可以知道小明至少做对20道题目，否则一定低于4×19=76(分)；再假设他做对21题，发现即使另外四题都错，小明仍然有21×4-4×1=80(分)，超过了78分，所以小明至多做对20道题目；综上，可以断定小明做对了20道题．至此本题转化为简单鸡兔同笼问题．假设剩下5题全部没做，那么小明应得4×20=80(分)．但是只得了78分，说明又倒扣了2分，说明错了2道题，3道题没做．所以小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题．要点：得分、扣分、不给分相当于三种动物，不能直接用鸡兔同笼。【例题9】春风小学3名学生参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____道题.【解析】三人共得87+74+9=170(分)，比满分10×10×3=300(分)，少300-170=130(分)因此三个人共做错：130÷(10+3)=10(道)题，共答对了30-10=20(道)题要点：合起来算比单个算更节省时间，给孩子提供合起来算的思路。【例题10】李明和张亮轮流打一份稿件，李明每天打15页，张亮每天打10页，他们一连打了25天，平均每天打12页，问李明、张亮各打了多少天？（为工程问题假设法做准备）【解析】从总数入手，由题意可知他们一共打了25×12=300(页)．假设25天都是李明打的，那么打的页数是：15×25=375(页)，比实际打的多375-300=75(页)，而李明每天比张亮多打：15-10=5(页)，所以张亮打的天数是：75÷5=15(天)，李明打的天数是：25-15=10(天)要点：为工程问题中的假设法做准备【例题11】使用甲种农药每千克要兑水20千克，使用乙种农药每千克要兑水40千克．根据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共50千克，要配药水1400千克，那么，其中甲种农药用了多少千克？（浓度问题中的假设法）【解析】假设50千克都是乙种农药，那么需要兑水40×50=2000（千克）．但题目要求配药水1400千克，即实际兑水1400-50=1350（千克）．多用了2000-1350=650（千克）水，又已知使用乙种农药每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水40-20=20（千克），所以推知，在混合农药中甲种农药有650÷20=32.5（千克）．要点：浓度问题比较抽象，用鸡兔同笼有些难度，需要加深对浓度问题的认识。【例题12】一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆．已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？【解析】要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨．利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144(吨)．根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9(辆)小卡车．这样每辆小卡车能装144÷9=16(吨)．由此可求出这批钢材有720吨．要点：列方程会简单，但算数的办法会更有意思，激发孩子的兴趣。