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电动力学习题解答第1页电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符的微分性与向量性,推导下列公式:BABAABABBA)()()()()(AAAA)()(221A2.设u是空间坐标zyx,,的函数,证明:uufufdd)(,uuudd)(AA,uuudd)(AA证明:电动力学习题解答第2页3.设222)'()'()'(zzyyxxr为源点'x到场点x的距离,r的方向规定为从源点指向场点。(1)证明下列结果,并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系:rrr/'r;3/)/1(')/1(rrrr;0)/(3rr;0)/(')/(33rrrr,)0(r。(2)求r,r,ra)(,)(ra,)]sin([0rkE及)]sin([0rkE,其中a、k及0E均为常向量。4.应用高斯定理证明fSfSVVdd,应用斯托克斯(Stokes)定理证明LSlSdd电动力学习题解答第3页5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为'd'),'()(VttVxxp,利用电荷守恒定律0tJ证明p的变化率为:VVttd),'(ddxJp6.若m是常向量,证明除0R点以外,向量3/R)(RmA的旋度等于标量3/RRm的梯度的负值,即A,其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点。电动力学习题解答第4页7.有一内外半径分别为1r和2r的空心介质球,介质的电容率为,使介质球内均匀带静止自由电荷f,求:(1)空间各点的电场;(2)极化体电荷和极化面电荷分布。8.内外半径分别为1r和2r的无穷长中空导体圆柱,沿轴向流有恒定均匀自由电流fJ,导体的磁导率为,求磁感应强度和磁化电流。9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电荷密度f的)/1(0倍。电动力学习题解答第5页10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)11.平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为1l和2l,电容率为1和2,今在两板接上电动势为E的电池,求:(1)电容器两极板上的自由电荷面密度1f和2f;(2)介质分界面上的自由电荷面密度3f。(若介质是漏电的,电导率分别为1和2当电流达到恒定时,上述两物体的结果如何?)电动力学习题解答第6页12.证明:(1)当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时,电场线的曲折满足1212tantan其中1和2分别为两种介质的介电常数,1和2分别为界面两侧电场线与法线的夹角。(2)当两种导电介质内流有恒定电流时,分界面上电场线的曲折满足1212tantan其中1和2分别为两种介质的电导率。13.试用边值关系证明:在绝缘介质与导体的分界面上,在静电情况下,导体外的电场线总是垂直于导体表面;在恒定电流情况下,导体内电场线总是平行于导体表面。电动力学习题解答第7页14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器,单位长度荷电为f,板间填充电导率为的非磁性物质。(1)证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消,因此内部无磁场。(2)求f随时间的衰减规律。(3)求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度。(4)求长度l的一段介质总的能量耗散功率,并证明它等于这段的静电能减少率。第二章静电场1.一个半径为R的电介质球,极化强度为2/rKrP,电容率为。(1)计算束缚电荷的体密度和面密度:(2)计算自由电荷体密度;(3)计算球外和球内的电势;(4)求该带电介质球产生的静电场总能量。电动力学习题解答第8页2.在均匀外电场中置入半径为0R的导体球,试用分离变量法求下列两种情况的电势:(1)导体球上接有电池,使球与地保持电势差0;(2)导体球上带总电荷Q3.均匀介质球的中心置一点电荷fQ,球的电容率为,球外为真空,试用分离变量法求空间电势,把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示:空间各点的电势是点电荷fQ的电势RQf4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加,后者满足拉普拉斯方程。4.均匀介质球(电容率为1)的中心置一自由电偶极子fp,球外充满了另一种介质(电容率为2),求空间各点的电势和极化电荷分布。电动力学习题解答第9页5.空心导体球壳的内外半径为1R和2R,球中心置一偶极子p球壳上带电Q,求空间各点的电势和电荷分布。6.在均匀外电场0E中置入一带均匀自由电荷f的绝缘介质球(电容率为),求空间各点的电势。7.在一很大的电解槽中充满电导率为2的液体,使其中流着均匀的电流Jf0。今在液体中置入一个电导率为1的小球,求稳恒时电流分布和面电荷分布,讨论21及12两种情况的电流分布的特点。电动力学习题解答第10页8.半径为0R的导体球外充满均匀绝缘介质,导体球接地,离球心为a处(a0R)置一点电荷fQ,试用分离变量法求空间各点电势,证明所得结果与电象法结果相同。)(0RR9.接地的空心导体球的内外半径为1R和2R,在球内离球心为a处(a1R)置一点电荷Q。用镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少?分布在内表面还是外表面?OQ'Q1RR'RP电动力学习题解答第11页10.上题的导体球壳不接地,而是带总电荷0Q,或使具有确定电势0,试求这两种情况的电势。又问0与0Q是何种关系时,两情况的解是相等的?11.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部(如图),半球的球心在导体平面上,点电荷Q位于系统的对称轴上,并与平面相距为b(ba),试用电象法求空间电势。),,(0baxQ),,(0baxQ),,(0baxQ),,(0baxQabyz电动力学习题解答第12页12.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内,它到两个平面的距离为a和b,求空间电势。13.设有两平面围成的直角形无穷容器,其内充满电导率为σ的液体。取该两平面为xz面和yz面在),,(000zyx和),,(000zyx两点分别置正负电极并通以电流I,求导电液体中的电势。),,(000zyxQ),,(000zyxQzxyo),,(000zyxQ),,(000zyxQ),,(000zyxQ),,(000zyxQ),,(000zyxQ),,(000zyxQ),,(000zyxA),,(000zyxBzxyo电动力学习题解答第13页14.画出函数dxxd/)(的图,说明)()(xp是一个位于原点的偶极子的电荷密度。15.证明:(1)axax/)()()0(a,(若0a,结果如何?)(2)0)(xxdxxd)(xo电动力学习题解答第14页16.一块极化介质的极化矢量为)'(xP,根据偶极子静电势的公式,极化介质所产生的静电势为VdVr'4)'(30rxP,另外根据极化电荷公式)'('xPp及Pnp,极化介质所产生的电势又可表为SVrddVr004')'('4)'('SxPxP,试证明以上两表达式是等同的。17.证明下述结果,并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。(1)在面电荷两侧,电势法向微商有跃变,而电势是连续的。(2)在面偶极层两侧,电势有跃变012/Pn,而电势的法向微商是连续的。(各带等量正负面电荷密度±σ而靠的很近的两个面,形成面偶极层,而偶极矩密度lP0liml)EESxz12电动力学习题解答第15页18.一个半径为R0的球面,在球坐标2/0的半球面上电势为0在2/的半球面上电势为0,求空间各点电势。提示:10101112)()()(nxPxPdxxPnnn,1)1(nP,偶数)(奇数)(nnnnPnn,642)1(531)1(,0)0(2/第三章静磁场1.试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场0B,写出A的两种不同表示式,证明二者之差为无旋场。2.均匀无穷长直圆柱形螺线管,每单位长度线圈匝数为n,电流强度I,试用唯一性定理求管内外磁感应强度B。电动力学习题解答第16页3.设有无限长的线电流I沿z轴流动,在z0空间充满磁导率为的均匀介质,z0区域为真空,试用唯一性定理求磁感应强度B,然后求出磁化电流分布。4.设x0半空间充满磁导率为的均匀介质,x0空间为真空,今有线电流I沿z轴流动,求磁感应强度和磁化电流分布。5.某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知)2/(220zCBBz,其中0B为常量。试求该处的B。提示:用0B,并验证所得结果满足0H。电动力学习题解答第17页6.两个半径为a的同轴圆形线圈,位于Lz面上。每个线圈上载有同方向的电流I。(1)求轴线上的磁感应强度。(2)求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L和a的关系。提示:用条件0/22zBz7.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面上,试解矢势A的微分方程。设导体的磁导率为0,导体外的磁导率为。电动力学习题解答第18页8.假设存在磁单极子,其磁荷为mQ,它的磁场强度为304/rQmrH。给出它的矢势的一个可能的表示式,并讨论它的奇异性。9.将一磁导率为,半径为0R的球体,放入均匀磁场0H内,求总磁感应强度B和诱导磁矩m。(对比P49静电场的例子。)10.有一个内外半径为1R和2R的空心球,位于均匀外磁场0H内,球的磁导率为,求空腔内的场B,讨论0时的磁屏蔽作用。电动力学习题解答第19页11.设理想铁磁体的磁化规律为00MHB,其中0M是恒定的与H无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球(0M为常值)浸入磁导率为'的无限介质中,求磁感应强度和磁化电流分布。12.将上题的永磁球置入均匀外磁场0H中,结果如何?13.有一个均匀带电的薄导体壳其半径为0R,总电荷为Q,今使球壳绕自身某一直径以角速度转动,求球内外的磁场B。提示:本题通过解A或m的方程都可以解决,也可以比较本题与§5例2的电流分布得到结果。电动力学习题解答第20页14.电荷按体均匀分布的刚性小球,其总电荷为Q,半径为0R,它以角速度绕自身某一直径转动,求(1)它的磁矩;(2)它的磁矩与自转角动量之比(设质量M0是均匀分布的)。15.有一块磁矩为m的小永磁体,位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中,求作用在小永磁体上的力F。第四章电磁波的传播1.考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为d和d的线偏振平面波,它们都沿z轴方向传播。(1)求合成波,证明波的振幅不是常数,而是一个波。(2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。电动力学习题解答第21页2.一平面电磁波以45°从真空入射到2r的介质,电场强度垂直于入射面,求反射系数和折射系数。3.有一可见平面光波由水入射到空气,入射角为60°,证明这时将会发生全反射,并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为501028.6cm,水的折射率为n=1.33。4.频率为的电磁波在各向异性介质中传播时,若HBDE,,,仍按)(tiexk变化,但D不再与E平行(即ED不成立)。(1)证明0EBDBDkBk,但一般0Ek。(2)证明22/])([kEkEDk。(3)证明能流S与波矢k一般不在同一方向上。电动力学习题解答第22页5.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴传播,一个波沿x方向偏振,另一个沿y方向偏振,但相位比前者超前2,求合成拨的偏振。反之,一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振?6.平面电磁波垂直射到金属表面上,试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。7
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