理论力学-动量矩定理

第三篇动力学理论力学第11章动量矩定理第11章动量矩定理在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。本章主要研究：1、质点系的动量矩定理2、刚体定轴转动微分方程3、刚体平面运动微分方程？几个有意义的实际问题谁最先到达顶点第11章动量矩定理？没有尾桨的直升飞机是怎么飞起来的猫在自由下落的过程中是如何转身的动量矩定理与动量矩守恒质点系的动量矩质点系的动量矩定理第11章动量矩定理动量矩定理与动量矩守恒质点系的动量矩质点的动量对点O之矩为称为第i个质点对点O的动量矩。iiiOimvrL质点系的动量矩即是动量系的主矩，它是质点系中各质点的动量对点O之矩的矢量和：iiiiOmvrL●质点系相对固定点的动量矩定理物理学中关于质点的动量矩定理：OmtMFrvr)(ddie)(ddiiiiiiimtFrFrvr将等号两侧对整个质点系中所有质点求和，得到ie)(ddiiiiiiiiiimtFrFrvr动量矩定理与动量矩守恒质点系的动量矩定理ie)(ddiiiiiiiiiimtFrFrvr注意到微分和求和运算可以互换，以及内力必成对出现，上式可简化为ed(rv)rFdiiiiiiimt或者写成eddOOtML质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用在该质点系上的外力系对同一点的主矩。这就是质点系相对定点的动量矩定理(theoremofthemomentofmomemtumwithrespecttoagivenpoint)。动量矩定理与动量矩守恒质点系的动量矩定理●质点系相对固定点的动量矩定理动量矩定理的微分形式e)(ddiiiiiiimtFrvreddOOtML动量矩定理与动量矩守恒质点系的动量矩定理将上述二式积分，得到动量矩定理的积分形式tmmiiiniiinide0Frvrvrii'itiiOOde0FrLL12质点系动量矩定理的积分形式，与上一章介绍的冲量定理一起，构成了用于解决碰撞问题的基本定理。动量矩定理的投影形式——质点系相对定轴的动量矩定理比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。e)(ddiiiiiiimtFrvreddOOtMLeeeddddddzzyyxxMtLMtLMtL动量矩定理与动量矩守恒质点系的动量矩定理均质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OW例题刚体定轴转动微分方程解：以圆轮和重物组成的质点系为研究对象。设圆轮的角速度和角加速度分别为和，重物的加速度为aP。圆轮对O轴的动量矩重物对O的轴动量矩2121mRJLOO＝2OWLvRgvRgWmRLLLOOO＋＋＝22121系统对O的轴总动量矩OWaP例题2刚体定轴转动微分方程应用动量矩定理eddOOMtLWRvRgWmRt)21(dd2例题2刚体定轴转动微分方程OWaP解：vRgWmRLLLOOO＋＋＝22121系统对O的轴总动量矩WRRagWmRP221其中aP=RgWmWaP2eddOOtML1、若外力矩0eOM则OLC这表明质点系对该点的动量矩守恒动量矩定理与动量矩守恒质点系的动量矩定理●动量矩定理的守恒形式例如0exM1CLx2、当外力对某定轴的主矩等于零，质点系对该轴的动量矩守恒。？谁最先到达顶点动量矩定理与动量矩守恒质点系的动量矩定理●动量矩定理的守恒形式刚体定轴转动微分方程第11章动量矩定理设刚体饶定轴z转动，如图所示，其角速度与角加速度分别为和。刚体上第i个质点的质量为mi，到轴z的距离为ri，则刚体对定轴的动量矩为2()ziiiiiziiLmrrmrJ刚体定轴转动微分方程称为刚体对轴z的转动惯量(momentofinertia)。其中2ziiiJmrzzLJeddzzLMtzzMJzzJM该式即为刚体定轴转动微分方程。即刚体对定轴转动的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力系对该轴之矩。刚体定轴转动微分方程例题1图示钟摆简化模型中，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1、m2，杆长为l，圆盘直径为d。解：摆绕O轴作定轴转动。设ϕ为任意时刻转过的角度，规定逆时针为正。根据定轴转动的微分方程ϕzzJM试求：钟摆作小摆动时的周期。刚体定轴转动微分方程解：分析受力，建立钟摆的运动微分方程12sin()sin22oldJmgmglϕm1gm2gFxFy例题1刚体定轴转动微分方程微小摆动时，有sin12()22oldJmgmgl化为标准形式，12(2)02omlmldgJ摆的周期为012222(2)JTgmlmld摆的周期为012222(2)JTgmlmld根据物理学中关于转动惯量的定义12OOOJJJ其中JO1和JO2分别为杆和圆盘对于转动轴的转动惯量。21113OJml222OCOCJJmd2dldOC2222222212222OCdddJJmlmml（）（）（）φm1m2例题1刚体定轴转动微分方程相对质心的动量矩定理第11章动量矩定理相对质心的动量矩定理在质点系相对于惯性参考系中固定点（或固定轴）的动量矩定理中，动量矩由系统的绝对运动所确定。这里讨论质点系相对于质点系的质心或通过质心的动轴的动量矩定理，一方面是因为它有广泛的应用价值，另一方面动量矩定理仍保持了简单的形式。相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩Oxyz为固定坐标系，建立在质心C上随质心平移的动坐标系为Cx´y´z´。质点系内第i个质点的质量为mi，相对质心的位矢为r´i，相对质心的速度为vir。根据动量矩定义，质点系相对质心的动量矩应为iiiCmvrL其中vi为第I个质点的绝对速度。注意到riCivvv则有rr()()LrvvrvrvCiiCiiiCiiimmmrrvrvCCiiimmr0rviiim相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩即有CiiirmLrv质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之间存在确定的关系。质点系相对固定点的动量矩为iiLrvOiim相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩rrrrCi因为vviiCmm因为OCCCmLrvL所以有iiiiiCOmmvrvrL所以有根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，edd()ddLrvLrFnOCCCiiimttrrrrCiddddddrvLvrCCCCCmmttteddddiFa,vv,av,vrCCCCCCCmtt0eddiniiCtFrLedM()dnCCiitLFeerFrFnnCiiiii相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程第11章动量矩定理取质心C为基点，其坐标为xC、yC，设D为刚体上任意一点，CD与x轴的夹角为φ,则刚体的位置可由xC、yC和φ确定。将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动量矩为CCJLxCyC刚体平面运动微分方程CCJL其中JC为刚体对通过质心C且与运动平面垂直的轴的转动惯量，为角速度。xCyC刚体平面运动微分方程当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和相对质心动量矩定理，有ee()nCiinCCiimJMaFF这就是刚体平面运动的微分方程。ee()nCiinCCiimJMaFF()FeCxeCyeCcimxFmyFJM或者刚体平面运动微分方程例题3半径为r的匀质圆盘从静止开始，沿倾角为θ的斜面无滑动的滚下。试求：1．圆轮滚至任意位置时的质心加速度aC；2．圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。刚体平面运动微分方程aCα解：分析圆轮受力sinCmamgFN0cosmgFFrJC圆轮作平面运动。根据刚体平面运动微分方程，有FFN1．确定圆轮质心的加速度例题3刚体平面运动微分方程运动学补充关系4Car（）CCCmaramrrJF212122sin32gaCsin1CmamgF（）N0cos2mgF（）3CJFr（）aCαFFN（4）式代入（3）式，得代入（1）式，得例题3刚体平面运动微分方程解：2．确定圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数N1sin3sFmgFfN0cosmgFN1sin3sFmgFfmin1tan3sf此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。CCCmaramrrJF212122sin32gaCaCαFFN例题3刚体平面运动微分方程均质杆AB长为l，放放置于铅垂平面内，杆一端A靠在光滑的铅垂墙上，另一端B放在光滑的水平面上，与水平面的夹角为0。然后，令杆由静止状态滑下。求：杆在任意位置时的角加速度。例题4刚体平面运动微分方程FAFBmg解：以杆为研究对象，杆作平面运动，分析其受力00cossin22CxACyBCBAmaFmaFmgllJFF列出平面运动微分方程例题4刚体平面运动微分方程式中有五个未知量，如果要求得全部未知量，还需两个运动学补充方程。显然，这一方法比较麻烦。(,,,,)CxCyABaaFF相对特殊瞬心的动量矩定理：平面运动过程中，如果刚体的质心C到速度瞬心C*的距离保持不变，则质点系相对速度瞬心的动量矩对时间的导数等于质点系外力对同一点的主矩。即C*ed()dCiCiMtLF注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于l/2，故可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时，CCLJvBvA例题4刚体平面运动微分方程ed()dFCiCiLMt对上式积分可以得到杆的角速度，进而可以比较方便地求出其余未知量。CCLJ0cos2ClJmg0cos2ClmgJ22211()1223ClJmlmml03cosglC*vBvA例题4刚体平面运动微分方程