矩阵和行列式基础-45页文档

行列式和矩阵－－－《线性代数》线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述，不过直到18—19世纪期间，随着研究线性方程组和变量线性变换问题的深入，才先后产生了行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具，并推动了线性代数的发展。线性代数主要内容：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。行列式历史上，最早使用行列式概念的是17世纪德国数学家莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的用行列式解线性方程组的克莱姆法则，首先将行列式的理论脱离开线性方程组的是数学家范德蒙，1772年他对行列式做出连贯的逻辑阐述，法国数学家柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词的使用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。行列式概念•问题：求解二元一次方程组(2),(1),22221211212111bxaxabxaxa用消元法得021122211aaaa211222112122211aaaabaabx211222111211122aaaabaabx用一个简单符号表示运算21122211aaaa，就是数学上二阶行列式的概念：称表达式21122211aaaa是由数表22211211aaaa确定的二阶行列式，记为22211211aaaa，即21122211aaaa=22211211aaaa.其中称数ija为行列式的元素，元素ija的第一个下标i表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标j表示这个元素所在的列数，称为列标。1221221122211211aaaaaaaa－＝二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆：主对角线上元素的乘积-次对角线上元素的乘积。求解二元一次方程组－－－用二阶行列式建立的克莱姆法则：当022211211aaaa时，方程组有唯一的解：DDaaaababaxDDaaaaababx22221121122111121222112112221211,＝211222112122211aaaabaabx211222111211122aaaabaabx完全类似地，我们称由含32个数的数表333231232221131211aaaaaaaaa确定的三阶行列式为312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa注也可以类似地给出三元一次方程组的克拉姆法则。三阶行列式的计算也可用对角线法来定义：三个主对角线上元素的乘积的和-三个次对角线上元素的乘积的和。例14)2()2(2411)3(2)4(24)2()3(12)2(21243122421D行列式的性质定义：记333231232221131211aaaaaaaaaD，332313322212312111aaaaaaaaaDT即交换D的第i行与第i列，称行列式DT为的D的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。注：性质1表明行列式中行与列具有同等的地位，也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成立，反之亦然。•性质2对调行列式的任意两行（列），所得的行列式的绝对值不变，但符号相反。•推论若行列式中有两行（列）元素完全相同，则行列式为零。性质3某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。推论若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式为零。性质4若行列式某行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。性质5行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，则行列式的值不变。行列式的计算在行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，由留下的元素组成的行列式叫做元素ija的余子式，记作ijM，并称ijjiM)1(为元素ija的代数余子式，记为ijjiijMA)1(。例如，332313322221311211aaaaaaaaaD的元素32a的余子式和代数余子式分别为2321131132aaaaM32232113112332)1(MaaaaA•定理(行列式按行(列)展开定理)：行列式D等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即),,2,1(2211niAaAaAaDininiiii),,2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj推论行列式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0，即)(012211jiAaAaAaAankjkikjninjiji)(012211jiAaAaAaAankkjkinjnijiji2114111011D求例51313911522－－求例D注：以元素中0最多的行或列展开克莱姆法则作为工具行列式的应用是很广泛地。克莱姆法则就是利用行列式给出线性方程组的解的法则。由n个含有n个未知数的n元一次方程构成的方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1）的解可以用n阶行列式表示，克莱姆法则若线性方程组(1)的系数行列式不等于零，即0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD则方程组(1)有唯一解DDxDDxDDxnn,,2211，，其中),,2,1(njDj是把系数行列式中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得的n阶行列式：nnijnnjnnnjjjaabaaaabaaD,1,111,111,111.•若线性方程组(1)的常数项不全为0时，称(1)为非齐次线性方程组；•系数行列式D≠0，则方程组(1)有唯一解。•D=0,且Dj不全为零，则方程组（1）无解•D=0且Dj＝0，则方程组（1)有无穷多组解）（1333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa）（1000333232131323222121313212111xaxaxaxaxaxaxaxaxa若线性方程组(1)的常数项全为0时，称(1)为齐次线性方程组，这时Dj＝0；若系数行列式D≠0，则方程组(1)有唯一的零解。若D=0，方程组（1)可能有非零解的解－例：求方程组6373252321321321xxxxxxxxx的解－－－－－例：求方程组10383233213121xxxxxxx的解－－＋－例：求方程组00203321321321xxxxxxxxx矩阵•矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。•矩阵的运算是线性代数的基本内容。1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱——毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。一、矩阵概念1、引例10求解线性方程组是一个重要问题，但仅仅写方程组就很麻烦，我们的想法是能否找到与线性方程组一一对应的等价形式，从而化减线性方程组的求解运算。设含个m方程、n个未知数的线性方程组为mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1)（1）的系数共有m×n个数，可排成一个m行n列的矩形的数阵mnmmnnaaaaaaaaa212222111211mnmmnnaaaaaaaaa212222111211且这个数阵与(1)式左端构成一一对应，称为线性方程组(1)的系数矩阵。定义1由m×n个数ija排成的m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称为m行n列矩阵，简称mn矩阵，这mn个数称为矩阵A的元素，也简称为元，元素ija位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元，矩阵A也常简记为(ija)，mn矩阵A也记为nmA或nmija)(注矩阵和行列式不一样！！！矩阵是一个数表，而行列式是一个实数！实矩阵——元素均为实数的矩阵。复矩阵——元素中有复数的矩阵。注我们只研究实矩阵，如不特别申明，今后所提到的矩阵均为实矩阵。方阵——行数与列数都等于的矩阵称为n阶矩阵，或强调称为n阶方阵，常记为An行矩阵——只有一行的矩阵)(21naaaA，又称行向量，也记为),,,(21naaa.列矩阵——只有一列的矩阵nbbbB21，又称列向量。同型矩阵——行数相等，列数也相等的矩阵。矩阵的相等——若A、B为同型矩阵，且对应元素相等，即),,2,1,,2,1(njmibaijij；就称矩阵A与B相等，记作A=B.零矩阵——元素均为零的矩阵，记为O.注意：不同型的零阵是不相等的。0000000001000100015820]462[OE零矩阵＝单位矩阵列矩阵：行矩阵：二、矩阵运算•1.加法定义2设有两个mn矩阵)(),(ijijbBaA，矩阵mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111BA称为矩阵A与B的和，记为A+B.即对应元素相加注同型阵之间才能进行加法运算。称矩阵-A=)(ija为矩阵A的负阵，利用复矩阵的概念可定义矩阵的减法运算：)(BABA.矩阵的加法实际上是转化为实数的加法来定义的，故其运算性质同于实数加法的运算性质。•定义3实数k（k≠0）与矩阵A的数乘记作Ak或kA•运算规律•A+B=B+A(交换律)•(A+B)+C=A+(B+C)（结合律）•A+(-A)=OA+O=A•k(λA)=kλAk(A+B)=kA+kB•(k+λ)A=kA+λA1011211223A例：求2.乘法定义4设是A一个ms矩阵，B是一个sn矩阵，记矩阵A与B的乘积为)(ijcCAB，其中C是一个mn矩阵，skjkikjssijijiijbabababac12211),,2,1;,,2,1(njmi，例：BAABBA,,021114,031021求例：ACABCBA,530040,0301025,086442201121求乘法不适合交换律乘法不适合消去律线性方程组记例：mnmnmmnnnnmnmnmmnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaBAXbbbxxxaaaaaaaaa.........,.........221