自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换

第1页共12页附录1.拉普拉斯变换附录1.1拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()ft，它的定义域是0t，那么拉氏变换就是如下运算式()()sttFsftedtA-1式中s为复数。一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是（1）在0t时，()0ft；（2）在0t时的任一有限区域内，()ft是分段连续的；（3）0()stftedt在实际工程中，上述条件通常是满足的。式A-1中，()Fs成为像函数，()ft成为原函数。为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]FsLft如果已知象函数()Fs，可用下式求出原函数1()()2cjstcjftFsedsj（A-2）式中c为实数，并且大于()Fs任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。同样，为了表述方便，可以记作1()[()]ftLFs为了工程应用方便，常把()Fs和()ft的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为0,0()0,0tutt它表示0t时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]ststFsedtess在进行这个积分时，假设s的实部比零大，即Re[]0s，因此lim0stte第2页共12页附录1.1.2单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。它是在持续时间0期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。其数学表达式为00,0()1lim0tttt和其拉氏变换为00000220[()]()lim()11lim[]lim[1]1lim[1()]11!2!ststsLtstedteesssss附录1.1.3单位斜坡时间函数和抛物线时间函数的拉氏变换单位斜坡时间函数为0,0(),0tfttt如图3-2所示，斜坡时间函数的拉氏变换为022011()[]stststtFstedteesss。Re[]0s同理单位抛物线函数为21()2ftt其拉氏变换为31()Fss，Re[]0s。附录1.1.4正弦和余弦时间函数的拉氏变换正弦函数的拉氏变换为00()()00221[sin]()sin()21122111()2stjtjtstsjtsjtLtFstedteeedtjedtedtjjjsjsjs同理求得余弦函数的拉氏变换为22[cos]()LtFss常用的拉氏变换法则（不作证明）1.线性性质拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以常第3页共12页数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数，即(())()LaftaFs拉氏变换的叠加性是：若1()ft和2()ft的拉氏变换分别是1()Fs和2()Fs，则有1212[()()]()()LftftFsFs2．微分定理原函数的导数的拉氏变换为()()(0)dftLsFsfdt式中(0)f——()ft在0t时的值。同样，可得()ft各阶导数的拉氏变换是222()()(0)'(0)dftLsFssffdt3323()()()'(0)''(0)dftLsFssfssffdt121()()()'(0)(0)nnnnnndftLsFssfssffdt如果上列各式中所有的初始值都为零，则各阶导数的拉氏变换为['()]()LftsFs2[''()]()LftsFs3['''()]()LftsFs[()]()nnLftsFs图1平移函数3．积分定理原函数()ft积分的拉氏变换为0(())()()tftdtFsLftdtss当初始值为零时()()FsLftdts4．时滞定理如图A-1所示，原函数()ft沿时间轴平移T，平移后的函数为()ftT。该函数满第4页共12页足下述条件0t时，()0ft0tT时，()0ftT则平移函数的拉氏变换为0[()]()()stsTLftTftTedteFs这就是时滞定理。5．初值定理如果原函数()ft的拉氏变换为()Fs，并且lim()ssFs存在，则时间函数()ft的初值为0lim()lim()tsftsFs表A-1拉普拉斯变换对照表原函数拉普拉斯函数()ft()Fs()t11()t1sate1saatte21()sa1(1,2,3)(1)!ratterr1()rsasint22scost22ssnt!1nns1()btatbeaeba()()ssasbsinatnet22()nnsacosatnet22()nsasa22sin11ntnnet2222nnnss221sin(1)1ntnet211tan01222nnsss第5页共12页6．终值定理如果原函数()ft的拉氏变换为()Fs，并且()sFs在s平面得右半平面和虚轴上是解析的，则时间函数()ft的稳态值可如下求得0lim()lim()tsftsFs这一定理对于求暂态过程的稳态值是很有用的。但是，当()sFs的极点的实部为正或等于零时，不能应用终值定理。这一点必须注意。在下面的例题中，还要说明。例1应用初值定理求21()(2)Fss的原函数()ft的初始值(0)f和'(0)f。(1)求0f。根据初值定理0limsfsFs得210limlim0424sssfsss(2)求0f。因为2002sLftsFsffs将已求得的00f带入上式得22sLfts根据初值定理得2210limlim14421sssfssss可以校核这一结果的正确性，由LFsft得2tftte200lim0ttfte2200lim21tttfete例2应用终值定理求55tfte的终值。因51Fsss所以得005limlimlim51tssftsFss也可以按下式求ft的终值第6页共12页limlim(55)5tttfte例3应用终值定理22Fss原函数的终值，并用sinftt的终值进行校核。由于22ssFss有两个极点在虚轴上，所以不能应用终值定理。如用终值定理，则得2200limlimlim0tsssftsFss这个结论是错误的，因为表1A得知原函数为sinftt，该函数为周期性的简谐振荡函数，没有终值。7.卷积和定理如果时间函数1ft和2ft都满足条件：当0t时，120ftft则1ft和2ft的卷积为12120tftftfftd由于卷积符合交换律，卷积也可写成21210tftftfftd1221ftftftft如果1ft和2ft是可以进行拉氏变换的，11FsLft，22FsLft。那么12ftft的拉氏变换可求得如下12120tLfftdFsFs这称为卷积定理。根据卷积符合交换律得21210tLfftdFsFs因此12211221LftftLftftFsFsFsFs8.位移性质如果LftFs，则有atLeftFsa，Re0sa附录1.2拉普拉斯反变换求反变换的运算公式是12cjstcjftFsedsj用上式求反变换显然是很复杂的，但是对与绝大多数控制系统，并不需要利用这一公式求解反变换，而是按照下面的方法求反变换。第7页共12页在控制系统中，拉氏变换可以写成下列一般形式10111011mmmmnnnnbsbsbsbFsasasasb3A一般nm。式3A可以分解为诸因式之积：1212mnKszszszFsspspsp4A式中当12,,,mszszsz时，0Fs。因此，12,,,mzzz称为复变函数Fs的零点。当12,,,nspspsp时，Fs，因此，12,,,nppp称为复变函数Fs的极点。对于4A式所示的拉氏变换，可以用部分分式展开，然后查拉氏变换表来求原函数。1.只包含不相同极点时的反变换ft因为各极点均不相同，因此Fs可以分解为诸分式之和1212nnAAAFsspspsp式中的12,,,nAAA为常数，iA称为isp的留数，该值可以按下式求出。lim()()iiispAspFs即[()()]iiispAFssp当各项系数求出后，可按下式求原函数()ft11111212()[()][][][]nnAAAftLFsLLLspspsp因1[]iptiiiALAesp故得1212()nptptptnftAeAeAe，0t例4求下列拉氏变换得反变换（1）已知3()(1)(2)sFsss，求1()[()]ftLFs。将()Fs分解为部分分式12()12AAFsss式中113[(1)]2(1)(2)ssAsss，223[(2)]1(1)(2)ssAsss于是2()2ttftee，0t第8页共12页（2）已知32465()(1)(2)sssFsss，求1()[()]ftLFs。因上式中得分子得幂次大于分母s得幂次，在求其反变换前，先将分子除以分母，得3()1(1)(2)sFssss对上式中得三项分别求拉氏反变换11113()[()][][1][](1)(2)sftLFsLsLLss式中1()[]dtLsdt；1[1]()Lt；123[]2(1)(2)ttsLeess因此得到原函数为2()()()2ttdtftteedt，0t2．包含共轭复极点得反变换如果()Fs有一对共轭极点，则可利用下面得展开式简化运算。设1p，2p为共轭极点，则312123()()()nnAAAsAFsspspspsp式中的1A及2A可按下式求解111212[()()()][]spspFsspspAsA因为1p是一个复数值，故等号两边都是复数值。使等号两边的实数部分和虚数部分分别相等，得两个方程式。联立求解，即得到1A及2A两个常数值。例5已知012221()(1)1AAsAsFsssssss，求()ft。三个极点分别为0s，1,2130.50.86622sjj确定各部分分式得待定系数0021[]1(1)ssAssss