正弦稳态电路分析

1正弦稳态分析28.3基本元件VAR相量形式和KCL、KVL相量形式8.4复阻抗与复导纳8.2正弦量的相量表示法8.1正弦量的基本概念8.5正弦稳态中的功率8.6正弦稳态电路中的中的最大功率传输主要内容3学习目标正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。深刻理解正弦量的相量表示法。深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感元件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。能进行对称三相电路的计算。4按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。①大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示U,I.②随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值u(t),i(t)tOi(t)tt0i(t0)O引言5③大小、方向随时间做周期变化的电流(电压)称为周期电流(电压)工程上往往以频率区分电路：工频50Hz中频400-2000Hz高频电路④交变电流：在一个周期内平均值为零的周期电流,称为交变电流。即tiTtiOTttiT00d)(167•NikolaTesla(1856-1943):TheManWhoInventedthe20thCentury.8•尼古拉·特斯拉是一位发明了交流发电和供电系统的天才发明家•1887他发明了交流供电系统•他发明了高频发电机和高频变压器。•他发明了日光灯、霓虹灯、速度计、汽车点火系统、雷达的基本原理、电子显微镜、微波炉、激光9•特兹拉的专利收费已经超过了1百万美元•不过特兹拉的梦想是让所有人都用上便宜的交流电，于是他放弃了自己的专利收益权。不但放弃了做成世界首富的机会，而且花费216600美元推广其专利。108.1正弦量的基本概念8.1.1正弦量的三要素若电压、电流是时间t的正弦函数，称为正弦交流电。以电流为例，正弦量的一般解析式为：)sin()(imtIti波形如图4-1所示图4-1正弦量的波形118.1.1正弦波的特征量tIimsintitmI：电流幅值（最大值）：角频率（弧度/秒）：初相角mI特征量:12tIimsin为正弦电流的最大值mI正弦波特征量之一--幅度最大值电量名称必须大写,下标加m如：Um、Im13描述变化周期的几种方法1.周期T：变化一周所需的时间单位：秒，毫秒..Tf1fT22正弦波特征量之二--角频率3.角频率ω：每秒变化的弧度单位：弧度/秒2.频率f：每秒变化的次数单位：赫兹，千赫兹...itT14正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加2π，则角频率ω、周期T和频率ƒ之间关系为：fTfT122即ω、T、ƒ反映的都是正弦量变化的快慢，ω越大，即ƒ越大或T越小，正弦量变化越快；ω越小，即ƒ越小或T越大，正弦量变化越慢。15tIisin2正弦波特征量之三--初相位：t=0时的相位，称为初相位或初相角。说明：给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。it）（t：正弦波的相位角或相位16用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负T/2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于，且波形起点在原点左侧；反之。00it17图4-2如图4-2所示，初相分别为0、662、、18初相为正值的正弦量，在t=0时的值为正，起点在坐标原点之左。初相为负值的正弦量，在t=0时的值为负，起点在坐标原点之右19把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。只有确定了三要素，正弦量才是确定的。20)sin()()sin()(222111imimtItitIti叫做他们的相位差而把、初相各为、它们的相位各为2121122121)()(,),()(iiiiiiiiitttt8.1.2、同频率正弦量的相位差设有两个同频率的正弦量为正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。212121tt两个同频率正弦量间的相位差(初相差)222111sinsintIitIimm122i1it0=0022初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不同时达到最大值，步调不一致。23两种正弦信号的相位关系同相位1i1221t2i021落后于2i1i2it1相位落后21i领先于1i2i2i相位领先1i12021t相位差为01i2i与同相位24如果，则表示i1超前i2;如果，则表示i1滞后i2，如果，则两个正弦量正交；如果，则两个正弦量反相。12212012如图4-3（a）、（b）、（c）、（d）分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。01225同频率正弦量的相位差，不随时间变化，与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较，即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在n个正弦量中，只能选择一个为参考正弦量。268.1.3正弦电流、电压的有效值1、有效值周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。根据有效值的定义，则有RTRdtIiT202则周期电流的有效值为TdtTIi02127则有TdtiTI021（均方根值）dtRiT20交流直流RTI2热效应相当有效值电量必须大写，如：U、I交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与一直流电流I通过同一电阻在同一时间T内产生的热量相等，则称I的数值为i的有效值28)sin()(imtIti对于正弦电流，设IImmmTmTimTimTIItTIdttTIdttI707.0222)](2cos1[2)(202020221sin29可得2mII当时，tIimsini=2Isin(t+)i可写为：同理:u=Umsin(t+)2mUUu=2Usin(t+)u可写为：308.2.1复数及运算1.复数A表示形式：AbReIma0AbReIma0y|A|jbaAyy||AeAAj8.2正弦量的相量表示法311.复数A表示形式：)1(j为虚数单位一个复数A可以在复平面上表示为从原点到A的向量，此时a可看作与实轴同方向的向量，b可看作与虚轴同方向的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A的向量，其模为|A|，幅角为。所以复数A又可表示为A=|A|ej=|A|AbReImaOA=a+jbAbReImaO32两种表示法的关系：A=a+jbA=|A|ej=|A|直角坐标表示极坐标表示abθbaAarctag||22或θAbθ|A|asin||cos2.复数运算(1)加减运算——直角坐标若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法。8.3复数复习A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。33(2)乘除运算——极坐标两个复数相乘，将模相乘，辐角加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。2121)(2121212121rrerrererAAjjj2121212121rrererjjAA因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。34jjej2sin2cos2jjej)2sin()2cos()2(1)sin()cos()(jej+j,–j,-1都可以看成旋转因子。ReIm0IIjIjI3.旋转因子复数ejy=cosy+jsiny=1∠yA逆时针旋转一个角度y，模不变212121yyAAAAAejy35欧拉公式考察复数项级数1z!21z2···!1nzn···．此级数在复平面上是绝对收敛的，在x轴上它表示指数函数ex，在复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记为ez．即ez1z!21z2···!1nzn···．36当x=0时，z=iy，于是eiy1iy!21(iy)2···!1n(iy)n···=1iy!21y2i!31y3!41y4i!51y5···=(1–!21y2+!41y4－···)+i(y–i!31y3+i!51y5－···)=cosy+isiny．把y定成x得eix=cosx+isinx，这就是欧拉公式．37欧拉公式：eix=cosx+isinx．复数z可以表示为z=r(cos+isin)=rei，其中r=|z|是z的模，=argz是z的辐角．复数的指数形式：yxOryxz=x+iy由eix=cosx+isinx及e－ix=cosx－isinx，得欧拉公式的其它形式：cosx=21(ei+e－i)及sinx=i21(ei－e－i)．这两个式子也叫做欧拉公式．38xsinixcoseix千万牢记欧拉公式398.3.2正弦量的相量表示设有一复数它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为复指数函数。)()(tjeAtA由于)sin()cos()()(tAjtAeAtAtj可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。40正弦波形与旋转矢量的对映4142•能不能使正弦矢量停止旋转进行研究？4344相量以正弦量的有效值为模，以初相为辐角的一个复常量定义为正弦量的相量如正弦电流]Re[tjjeIeii2其相量为ijIIeIi45tjmmtjmtjjmtjmuumueUIeUIeUeIUeItjtUItUtuuu..)(][)]}sin()[cos({)sin()(22222)sin()cos()()(tAjtAeAtAtj式中同理...UUUeUmju2或...2IIIeImji或46把这个复数分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。mUU..和...UUUeUmju2或rjbaA相量可以看作是正弦量省略了时间关系的等效数学表达式47如果已知一个相量，则将相量乘以时间因子，并取其实部（或虚部），就得到了与相量对应的正弦量utjeutjmmtjmueUIeUItUtu..)sin()(22如果已知一个正弦量，则将正弦量表达为复数的虚部，复数用指数形式表达，然后把这个复数去掉时间因子得到的复数就是与正弦量对应的相量48je复数A=旋转因子tje||A模相量49•时域表示mmVvtVtv)cos()(相量域表示频率域50mV正弦矢量与相量的区别正弦矢量相量5152例已知u1=141sin(ωt+60o)V，u2=70.7sin(ωt-45o)V。求：⑴求相量；(2)求两电压之和的瞬时值u(t)（3）画出相量图。和2.1UU53例已知u1=141sin(ωt+60o)V，u2=70.7sin(ωt-45o)V。求：⑴求相量；(2)求两电压之和