关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版

精品word，欢迎共阅高中数学不等式专题教师版一、高考动态考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│二、不不等等式式知知识识要要点点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0babababababa（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）cacbba,（传递性）（3）cbcaba（加法单调性）（4）dbcadcba,（同向不等式相加）（5）dbcadcba,（异向不等式相减）（6）bcaccba0,.（7）bcaccba0,（乘法单调性）（8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘）(9)0,0ababcdcd（异向不等式相除）11(10),0ababab（倒数关系）（11）)1,(0nZnbabann且（平方法则）（12）)1,(0nZnbabann且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2aaRa则若（2）)2||2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么.2abab（当仅当a=b时取等号）极值定理：若,,,,xyRxySxyP则：○1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.精品word，欢迎共阅3,3abcabcRabc(4)若、、则（当仅当a=b=c时取等号）0,2baabab(5)若则（当仅当a=b时取等号）2222(6)0||;||axaxaxaxaxaxaaxa时，或（7）||||||||||||,bababaRba则、若4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么222.1122abababab（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，222()22ababab（当a=b时，222()22ababab）),,,(332222时取等cbaRcbacbacba幂平均不等式：22122221)...(1...nnaaanaaa注：例如：22222()()()acbdabcd.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1nnnnnnnnnn②11111(1)121nnnnnnnnnn（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),xxxx有12121212()()()()()().2222xxfxfxxxfxfxff或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例①一元一次不等式axb解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则精品word，欢迎共阅()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx（3）无理不等式：转化为有理不等式求解○1()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx定义域○20)(0)()]([)(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或○32)]([)(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lglgfxgxfxgxfxaaafxgxaaafxgxababfxab（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()aaaafxfxfxgxagxfxgxagxfxgxfxgx（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x为正数）：①231124(1)2(1)(1)()22327xxxxx②2222232(1)(1)12423(1)()223279xxxyxxyy类似于22sincossin(1sin)yxxxx，③111||||||()2xxxxxx与同号，故取等三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式ababab200(，，当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑1.凑系数例1.当04x时，求yxx()82的最大值。精品word，欢迎共阅解析：由04x知，820x，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2828xx()为定值，故只需将yxx()82凑上一个系数即可。yxxxxxx()[()]()821228212282282·当且仅当282xx，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，yxx()82的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2.凑项例2.已知x54，求函数fxxx()42145的最大值。解析：由题意知450x，首先要调整符号，又()42145xx·不是定值，故需对42x进行凑项才能得到定值。∵xx54540，∴fxxxxx()()421455415432541543231()xx·当且仅当54154xx，即x1时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3.分离例3.求yxxxx271011()≠的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。yxxxxxxxx227101151411415()()()当x10，即x1时精品word，欢迎共阅yxx214159()·（当且仅当x＝1时取“＝”号）。当x10，即x1时yxx521411()·（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。∴yxxxx271011()≠－的值域为(][)，，19。评注：分式函数求最值，通常化成ymgxAgxBAm()()()00，，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例4.已知abab0021，，，求tab11的最小值。解法1：不妨将11ab乘以1，而1用a＋2b代换。()()()111112ababab··12232322322baabbaabbaab·当且仅当2baab时取等号，由22121122baababab，得即ab21122时，tab11的最小值为322。解法2：将11ab分子中的1用ab2代换。精品word，欢迎共阅abaabbbaabbaab2212232322评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到tbaab32，而2ba与ab的积为定值，即可用均值不等式求得tab11的最小值。三、换元例5.求函数yxx225的最大值。解析：变量代换，令tx2，则xttytt222021()，则当t＝0时，y＝0当t0时，ytttt121122124·当且仅当21tt，即t22时取等号。故xy3224时，max。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6.求函数yxxx21521252()的最大值。解析：注意到2152xx与的和为定值。yxxxxxx222152422152421528()()()()()又y0，所以022y当且仅当2152xx，即x32时取等号。精品word，欢迎共阅故ymax22。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。高中数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：基本不等式一、选择题1．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是()A.14B．1C．4D．8解析：由a＞0，b＞0，ln(a＋b)＝0，得a＋b＝1，a＞0，b＞0.故1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥1a＋b22＝1122＝4.当且仅当a＝b＝12时，上式取等号.答案：C2．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．9D．16解析：(x＋y)1x＋ay＝1＋xy·a＋yx＋a.∵x＞0，y＞0，a＞0，∴1＋axy＋yx＋a≥1＋a＋2a.由9≤1＋a＋2a，得a＋2a－8≥0，∴(a＋4)(a－2)≥0.∵a＞0，∴a≥2，∴a≥4，∴a的最小值为4.答案：B精品word，欢迎共阅3．已知函数f(x)＝lg5x＋45x＋m的值域为R，则m的取值范围是()A．(－4，＋∞)B．[－4，＋∞)C．(－∞，－4)D．(－∞，－4]解析：设g(x)＝5x＋45x＋m，由题意g(x)的图像与x轴有交点，而5x＋45x≥4，故m≤－4，故选D.答案：D4．当点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为()A．3B．5C．1D．7解析：方法一：由x＋3y－2＝0，得3y＝－x＋2.∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x＋3－x＋2＋1＝3x＋93x＋1≥23x·93x＋1＝7.当且仅当3x＝93x，即3x＝3，即x＝1时取得等号．方法二：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥23x·33y＋1＝232＋1＝7.答案：D5