几何概型(一轮复习总结)

[备考方向要明了]几何概型是高考的一个重点，多以选择题或填空题的形式考查，并进一步强调知识间的横向联系，如2012年福建T6.1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2.了解集合概型的意义.怎么考考什么[归纳·知识整合]1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．[探究]1.几何概型有什么特点？提示：几何概型的特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个．②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．长度(面积或体积)2．几何概型和古典概型有什么区别？提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件则有无限个．2．几何概型的概率公式P(A)＝___________________________________________.构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积[自测·牛刀小试]1．容量为400mL的培养皿里装满培养液，里面有1个细菌，从中倒出20mL的培养液，则细菌被倒出的概率是()A.1200B.120C.1400D.140解析：细菌被倒出的概率为P＝20400＝120.答案：B2．已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.110B.19C.111D.18解析：试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成所求事件的区域长度为1min，故P＝110.答案：A3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中靶点与靶心的距离小于2的概率为()A.113B.19C.14D.12解析：射中区域的面积与整个圆形靶的面积的比值是19.答案：B4．点A为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为_______．解析：试验的全部结果构成的区域长度为3，所求事件发生的区域长度为2，故所求的概率为P＝23.答案：235．如图所示，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：根据随机模拟的思想，这个面积是10×200－114200＝4.3.答案：4.3与长度有关的几何概型[例1](2012·辽宁高考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45[自主解答]设AC＝xcm，CB＝(12－x)cm,0x12，所以矩形面积大于20cm2即为x(12－x)20，解得2x10，故所求概率为812＝23.[答案]C在长为12cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率是多少？解：面积为36cm2时，边长AC＝6，面积为81cm2时，边长AC＝9，故P＝9－612＝312＝14.求解与长度有关的几何概型的两点注意(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比；(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．1．在区间－π2，π2上随机取一个数x，则cosx的值介于0到12之间的概率为________．解析：当－π2≤x≤π2时，由0≤cosx≤12，得－π2≤x≤－π3或π3≤x≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.答案：132．已知集合A＝{x|－1x5}，B＝xx－23－x0，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈A∩B”的概率是_______．解析：由题意得A＝{x|－1x5}，B＝{x|2x3}，由几何概型知，在集合A中任取一个元素x，则x∈A∩B的概率为P＝16.答案：16与面积(体积)有关的几何概型[例2](1)已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．(2)(2012·湖北高考)如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.12－1πB.1πC．1－2πD.2π[自主解答](1)依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知SU＝18，SA＝4，则点P落入区域A的概率为P＝SASU＝29.(2)设OA＝OB＝r，则两个以r2为半径的半圆的公共部分面积为214π·r22－12×r22＝π－2r28，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr2－12πr22×2－π－2r28＝π－2r28，所以所求概率为2×π－2r2814πr2＝1－2π.[答案](1)29(2)C求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到实验全部结果构成的平面图形，以便求解．3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为()A.43B.83C.23D．无法计算解析：由几何概型知，S阴S正方形＝23，故S阴＝23×22＝83.答案：B4．若不等式组x2－4x≤0，－1≤y≤2，x－y－1≥0表示的平面区域为M，(x－4)2＋y2≤1表示的平面区域为N，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N内的概率是________．解析：如图所示：P＝12×π×1212×1＋4×3＝π15.答案：π15与角度有关的几何概型[例3]如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．[自主解答]如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为60°360°＝16.[答案]16求解与角度有关的几何概型的注意点当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．5．如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过2R的概率是________．解析：连接圆心O与M点，作弦MN使∠MON＝90°，这样的点有两个，分别记为N1，N2，仅当点N在不包含点M的半圆弧上取值时，满足MN2R，此时∠N1ON2＝180°，故所求的概率为180°360°＝12.答案：12几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．1条规律——对几何概型概率公式中“测度”的认识2种方法——判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系；(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域.创新交汇——几何概型与定积分的完美结合1．几何概型是近几年高考的热点之一，主要考查形式有两种：一是以实际问题为背景直接考查与长度、面积有关的几何概型的概率求解，多涉及三角形、矩形、圆等平面图形的计算；二是与定积分、解析几何、函数、立体几何、线性规划、等知识交汇命题．2．解决此类问题关键是理解几何概型的含义及其求法原理，并熟练掌握相关知识．[典例](2012·福建高考)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17[解析]阴影部分的面积为10(x－x)dx＝23x23－12x2|10＝23－12＝16，利用几何概型公式得，P＝S阴影S正方形＝161＝16.[答案]C[名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查方式的创新：对于定积分的考查，由常规方式转换为以几何概型为载体考查定积分的计算；(2)考查内容的创新：本题将几何概型与定积分求面积完美结合起来，角度独特，形式新颖，又不失综合性．2．解决本题的关键点解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求解．3．在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点(1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型，为此必须了解几何概型的含义及特征；(2)运用几何概型的概率公式时，注意验证事件是否等可能性．[变式训练](2013·沈阳模拟)设集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，B＝{(x，y)∈A|y≤x2}，从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则P∈B的概率是________．解析：在直角坐标系中分别作出集合A，B所表示的区域，从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则P∈B的区域为图中阴影部分，由定积分知识可求得阴影部分的面积为210x2dx＋12＋2＝173，则从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则P∈B的概率为1738＝1724.答案：17241．扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C、D、E将弧AB等分成四份．连接OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是()A.310B.15C.25D.12解析：依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面积恰为π8的扇形(即相应圆心角恰为π4的扇形)共有3个(即扇形AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于310.答案：A2．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|1的概率为()A.14B.12C.π4D．π解析：满足|PA|1的点P位于以A为圆心，半径为1的圆在正方形ABCD内部(如图)，又S扇形ABD＝π4，故P(|PA|1)＝π41＝π4.答案：C3．两人约定在下午3点和4点之间会面，要求先去的等后去的不超过12小时，否则先去的可以离开，则两人会面的概率为________．解析：利用几何概型知识，结合线性规划可求出答案，如图．|x－y|≤12⇔－12≤x－y≤12，x∈[0,1]，y∈[0,1]，设阴影部分的面积为d，可知d＝34，整个正方形的面积为D，可知D＝1，则所求概率P＝dD＝34.答案：344．将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过a13≤a≤1的概率．解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1－x－y，则基本事件组所对应的几何区域可表示为O＝{(x，y)|0x1,0y1,0x＋y1}，此区域面积为12.事件“三段的长度都不超过a13≤a≤1”所对应的几何区域可表示为A＝{(x，y)|(x，y)∈O，xa，ya，1－x－ya}．即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a≤12时，为3a－122，此时事件“三段的长度都不超过a13≤a≤1”的概率为P＝3a－12212＝(3a－1)2；当12≤a≤1时，为12－31－a22，此时事件“三段的长度都不超过a13≤a≤1”的概率为P＝1－3(1－a)2.综上，P＝3a－12，13≤a≤12，1－31－a2，12≤a≤1.小时候，过年是穿新衣裳，牵着母亲的衣角去置办年货，还有那各种各样的烟花炮仗，琳琅满目的物品很容易