兰州交通大学数值计算法考试试卷(五)

兰州交通大学2013级硕士研究生考试试卷（四）数值计算法一、（20分）对于非线性方程01)(xxexf，求解下列各小题：（1）确定一个含根区间并写出并写出两种迭代格式；（2）对于确定的含根区间，并判断（1）中迭代格式的收敛性，如果收敛，则计算达到精度要求的迭代次数：精度要求3-10；（3）写出牛顿迭代格式；解答：（1）确定含根区间：kkxkkxkkxxxexxexxexxxexxexfefef115.01]1,5.0[;;1,01)(]1,5.0[;071828.11)1(;017564.015.0)5.0(，迭代格式为即含根区间知道由可作为一个含根区间故（2）对于迭代格式（1）：发散；即迭代格式时，当1)(112)(1)(]1,5.0[1)(1max,,1xxexgexgxxexgxxxexgxxx对于迭代格式（2）：收敛。即迭代格式时，当xxxexgexgexgxexg)(161.0)()(]1,5.0[)(25.0max,2,22其迭代格式kxkex14.11]61.015.061.0ln10[ln61.0ln1]1ln[lnln1301NLxxLN即迭代次数为N=12；迭代终止3110kkxx，见下表：（3）牛顿迭代格式为：kkkxxkxkkkxxxkkkkeexexxxexexfxexfxfxfxx1)(,1)()()(1,,1则牛顿迭代格式：二、（1）（10分）已知下列数据：x1.01.31.61.9f(x)0.76520.62010.45440.2818用二次插值多项式求f(1.5)的近似值。解答：51248.0253.03445.008502.0)0.16.1)(3.16.1()0.15.1)(3.15.1(4554.0)6.13.1)(0.13.1()6.15.1)(0.15.1(6201.0)6.10.1)(3.10.1()6.15.1)(3.15.1(7652.0)5.1())(())(())(())(())(())(()(4544.0)(,6201.0)(,7652.0)(6.1,3.1,0.120212012210120120102102210210LxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxLxfxfxfxxx即则（2）（10分）已知函数f(x)在七个点上的取值如下表：x01/81/43/81/25/83/4f(x)4.03.93.83.53.22.92.6用复合Simpson公式计算定积分430)(dxxf的近似值；解答：由复合Simpson公式：)]43()(2)(2)(4)(4)(4)0([241;43,0,6,81)]()(2)(4)([3425316111212n2fxfxfxfxfxffSbanhbfxfxfafhSnknkkk则其中：575.2248.61]6.2)2.38.3(2)9.25.39.3(40.4[241三、（20分）设求积公式：)0()1()0()(,21010fAfAfAdxxf（1）确定待定参数，使其代数精度尽量高；（2）确定求积公式的代数精度；解答：由于有三个待定系数，按代数精度取f(x)=1,x,x²；则所求的求积公式f(x)的余项为0，建立三个方程：次代数精度。则此式有时，令则求积公式联立231)0(61)1(31)0(32413)()()0(61)1(31)0(32)(61313231211;31)(,)()3(;21)(,)()2(;1)(,1)()1(,1032,3,102101211011012211021101010fffdxxxxfxxffffdxxfAAAAAAAAAAdxxfxxfAAAAdxxfxxfAAAAdxxfxf四、（20分）给定初值问题1)0(yyxdxdy10x（1）写出解该初值问题的梯形公式；（2）写出求解该初值问题的四阶龙格库塔公式；（3）用四阶龙格库塔公式计算y(0.2)；解答：（1）梯形公式为：)],(),([2111iiiiiiyxfyxfhyy由题目知：f(x,y)=x-y)22(64121)41211()41211(),(4121)14121()41211()21,21(21)121()211()21,21(),(;1kutta-unge2]21)21[()21(121)21()21(][2][2;),(,),(33211323232342222312102121111111111kkkkhyyhhhyhhhxhhhhkyhxfkhhyhhxhhhkyhxfkhyhxhhkyhxfkyxyxfkyRhhxyhhyhhxyhyhyhxyxhyyyxyxhyyyxyxfyxyxfiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii公式：）四阶（其中i=0.1,2…（3）取h=0.2则可知：83743.0)2.0(83743.001873.08187.01813.01,001873.08187.01813.0182.0818.0818.009.091.091.01.09.09.010010014321yyyxyyxyxyyxkyxkyxkyxkiiiiiiiiiii即其中：五、（20分）已知线性方程组：1221122321321321xxxxxxxxx（1）求解该方程组的方法有哪些；（2）写出该方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-S迭代格式；（3）用收敛原则判定Jacobi迭代格式和Gauss-S迭代格式的收敛性；解答：（1）解该方程的方法有Gauss消去法、LU分解法、追赶法；（2）由1221122321321321xxxxxxxxx知道：2133123212211221xxxxxxxxx因此得到Jacobi迭代格式：）（）（）（）（）（）（）（）（）（k2k11k3k3k11k2k3k21k12211221xxxxxxxxx（k=0,1,2…）G-S迭代格式：）（）（）（）（）（）（）（）（）（1k21k11k3k31k11k2k3k21k12211221xxxxxxxxx（k=0,1,2…）（3）由上可知：Jacobi迭代矩阵：JB=022101220得到14JB，故此Jacobi迭代格式不收敛；G-S迭代矩阵:ULDBG1)(其中:022001000L000100220U100010001D122011001LD120011001)(1LD120011001)(1LDGB=200320220000100220120011001)(1ULD得到15GB，故此G-S迭代格式不收敛；柴海华2014.122310:10于兰交大