力学例题集

例1．在深海爆炸中，爆炸后形成的流的振荡周期有以下关系：其中，K是一无量纲的常数，是冲压力，是水密度，E是爆炸的总能量，试求T的表达式（即求出A、B、C）CBAEKpTp例1．在深海爆炸中，爆炸后形成的气流的振荡周期有以下关系：其中，K是一无量纲的常数，是冲压力，是水密度，E是爆炸的总能量，试求T的表达式（即求出A、B、C）CBAEKpTp解：]][][[][CBAEpTCACBACBACBATLMTMLMLTMLT222322321)()()(1220230CACBACBA解之得：312165CBA{{312165EKpT422222xytytx得轨道方程消去t解：(1)先写参数方程[例1].已知质点的运动方程求：(1)质点的轨迹。(2)t=0及t=2s时，质点的位置矢量。jtitr)2(22(2)位置矢量t=0时，x=0y=2r=2jt=2时，x=4y=-2r=4i–2jxPy42Q-2Orr§2.1质点的运动学方程位置矢量的大小m47.4m)2(4m222rrrr位置矢量的方向2900226324arctgarctgxPy42Q-2Orr§2.1质点的运动学方程rx与的夹角'rx与的夹角[例2].求例1中P、Q两点间的位移和路程。解：(1)位移jirjr24242244rrrijjijm65.5m4422r4arctg0xy大小：方向：xPy42Q-2Orrr0§2.1质点的运动学方程22)d()d(dyxsdxdydsQPssd(2)路程422222xytytxxxyd21dxxyxsd421)d()(dd2224201d4d5.91m2QPssxxxPy42Q-2O0rrjikjirrr44224§2.1质点的运动学方程[例1]:质点的运动方程：求：（1）质点第一秒末的速度和加速度；（2）在t=1秒到t=3秒时间间隔内质点运动的平均速度和平均加速度。)()4()2(3SIjttitr解：（1）jtidtrdv)34(2t=1时:)/(smjivjtdtvda6,)(6,2smjatrv(2)tva13)1()3(trtrji913)1()3(tvtvj12运动学第一类问题[例2]:一质点沿x轴作直线运动，其运动方程为已知：x=6t-t2(SI)求：（1）质点在任意时刻t的速度和加速度；（2）简述质点运动情况；（3）求t=1秒到t=5秒间质点的位移和路程。解：（1）)/(26smtdtdxv（2）质点作匀减速直线运动，在t=3质点“回头”。本题是一维情况，用正负表示方向)(2,2smdtdva0)116()556(2215xxx（3）)(83513mxxxxs运动学第一类问题[例3].一艘快艇在速率为时关闭发动机，其加速度，式中k为常数，试证明关闭发动机后又行驶距离x时，快艇速率为：0v2akv0kxvve证明：2ddddddddvvxvvakvtxtx00ddddvxvvkxvvkxv00lnkxvkxvvve运动学第二类问题[例4]:一质点沿x轴运动,其加速度a与位置坐标的关系为a=3+6x2(SI),如果质点在原点处的速度为零,试求其在任意位置x处的速度v。dtdvadxxvdv)63(2dxdvvx263322321xxv解:本题的关键是得出x与v的关系dtdxdxdvv0x0)4(631/2xxv运动学第二类问题[例5].在离水面高h的岸上，有人用绳拉船靠岸，如图。设人以匀速率收绳。试求:当船距岸边时，船的速度和加速度的大小各是多少？0vx解建立坐标系如图设任意时刻t，绳长为l，船处于x位置收绳过程中满足关系222lxh两边求导得22dldxlxdtdt0dlvdt收绳过程中l随时间减小则船运动的速度为0dxlvvdtx220xhvx对速度求导即可得到船运动的加速度220023()vhvdvdldxaxldtxdtdtx船做怎样的运动？加速？减速？思考［例1］.一质点沿半径为R的圆周运动，路程与时间的关系为求：(1)任意时刻t，质点加速度的大小和方向。(2)什么时刻质点加速度的大小等于b，这时质点已转了几圈？201SI2svtbt。解：质点的速率btvtsv0dd2204240222202,1vbtvvaabRRtvbtaaabvbtbRRRnτnτdd20τvbtaaRbnarctgarctgτanaa任意时刻bvtbRbbtvRa022201)2(解得时间，令加速度2021btRRtvRs程为用角量表示质点运动方:0000可得代入运动方程，。将时质点还没有反向转动可见，，，解得令bvtbvtbvtPsROx。SI2120bttvsRbvnRbvbvRbbvRvπ4π22220202000转过的圈数为［例2］、一质点在oxy平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。已知ax=2,ay=36t2。设:质点t＝0时r0=0,v0=0。求：(1)此质点的运动方程；(2)此质点的轨道方程。(3)此质点的切向加速度.)(dtdvadtdvayyxxdttdvdtdvyx2362tvytvxdttdvdtdvyx020003621223tvtvyxjtitv3122解：)(dtdvadtdvayyxxdttdvdtdvyx2362tvytvxdttdvdtdvyx020003621223tvtvyxdtdyvdtdxvyxjtitrtytx424233质点的运动方程为：dttdytdtdx3122tytxdttdytdtdx03000122423tytx(2)上式中消去t,得y=3x2即为轨道方程可知是抛物线。dtdyvdtdxvyxdttdytdtdx3122tytxdttdytdtdx03000122423tytxjtitrtytx4242334262636121621444864821ttttttdtdva622231444122)3(ttvvvtvtvyxyx注：若求法向加速度，应先求曲率半径。6)361(1232232xyy4223242236124)361(6)361(4ttxttvan解：300vAgata230sin0ggat3230cos;30cos2022gvgvvgan[例3]一物体作如图所示的斜抛运动，测得在A点处速度的大小为v，其方向与水平方向夹角成300，求物体在A点的切向加速度at；轨道的曲率半径。v[例1].河水自西向东流动，速度为10km/h,一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30o,航速为20km/h。此时风向为正西，风速为10km/h。试求在船上观察到的风的速度。解：设水用S；风用F；船用C；岸用D已知：201010csfdsdvvv正东正西北偏西30ovcsvfdvsdsdcscdvvvcdfcfdvvvcdfdfcvvvhkmvvvvcsfcsdfd/20方向为南偏西30o。fcvvcsvfdvsdvcdvfcvfdvsdvcd方向正北hkmvcd/310［例2］某人骑摩托车向东前进，其速率为10ms-1时觉得有南风，当其速率为15ms-1时，又觉得有东南风，试求风速度。解：取风为研究对象，骑车人和地面作为两个相对运动的参考系。作图v15ms-110ms-145y(北)x(东)O2KK2KKvvvvAA根据速度变换公式得到：1KK1KKvvvvAA由图中的几何关系，知：1KK10(/)xvvms21KKKK()45yvvvtg15105(/)ms风速的大小：22510v风速的方向：为东偏北2634'105arctg)/(2.11sm4326v15ms-110ms-145y(北)x(东)O2.打靶问题:如图,当子弹由坐标原点出射时,物体(目标)开始自由下落.问多大时子弹恰好击中物体?子弹出射速率v0有无限制?试用运动学第一类问题和相对运动两种解法分别求解。yx0BHSv0A解法一：由运动学方程求解，以地面为参考系，子弹A的位矢：,11jyixrAB的位矢：jyixrB22击中相遇指在某一时刻t有BArr2010121sincosgttvytvx22221gtHysxyx0BHSv0A22002121sincosgtHgttvstvsHtg）要求：对sgHvvcos2(00解法二：用相对运动求解00vtgtgvvvvBABA地对对地对即A对B作匀速直线运动，为击中B，必须使枪口瞄准靶，即v0指向B，必须满足：sHtg(二）、恒力作用下的直线运动问题m1m2Tm1gTaam2g②①amTgmamgmT2211,[例1]：图示为定滑轮装置,绳轮质量不计,绳伸长不计，轴处摩擦不计,已知重物m2m1，求重物释放后物体加速度和绳中张力。212112122,mmgmmTgmmmma可求得:解：以地为参考系，隔离m1,m2,对两个质点分别应用牛顿第二定律maFammgmm)()(1212讨论：⑴验证二定律：⑵设m1、m2是两个质量均为m的人，他们自同一高度开始爬绳，谁先到达顶点？㈢变力作用下的直线运动问题),,(22vxtFdtxdmdtdvm只讨论的线性情况)(),(vFFtFF[例2]：质点由静止在空气中下落，重力加速度g为常数，质点所受空气阻力与速率成正比f=-γv，求质点下落速度。解：质点动力学方程为：vmgdtdvmdtvgvgddtvgdvdtmvgdvmmmm)(,,)(ctvgmm)ln(,,ctmmevgtmctmCevmgemevmg,)1(,,0,0tmtmemgvmgevmgmgCvt讨论：质点在空气中下落的终极速度。若没有空气，自由落体的速度/maxmgvghv2两边乘dt/m[例3]有一密度为的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为的液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性。xlBgm解：以棒为对象，受力如图：xo棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下建立坐标系。当棒的最下端距水面距离为时x，浮力大小为：Bxsg此时棒受到的合外力为：Fmgxsgglsxs()利用牛顿第二定律建立运动方程：vmglsxstd()d要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间vmvglxxd()dlsvvglsxsxd()d积分得到2222glgllvglglv2[例3]如图长为的轻绳，一端系质量为的小球，另一端系于定点，时小球位于最低位置，并具有水平速度，求小球在任意位置的速率及绳的