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建设现代化(检验)——有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程,这是解析几何的一大课题:一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质;另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程,而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点,在历年高考中出现的频率较高,特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口,注重考查学生的逻辑思维能力,运算能力,分析问题和解决问题的能力,而轨迹方程这一热点,常涉及函数、三角、向量、几何等知识,能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤:建设现代化(检验)建(坐标系)设(动点坐标)现(限制条件,动点、已知点满足的条件)代(动点、已知点坐标代入)化(化简整理)检验(要注意定义域“挖”与“补”)求轨迹方程的的基本方法:直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。1.直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法;例1、已知直角坐标系中,点Q(2,0),圆C的方程为122yx,动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数)0(,求动点M的轨迹。【解析】设MN切圆C于N,则222ONMOMN。设),(yxM,则2222)2(1yxyx化简得0)41(4))(1(22222xyx(1)当1时,方程为45x,表示一条直线。(2)当1时,方程化为2222222)1(31)12(yx表示一个圆。◎◎如图,圆1O与圆2O的半径都是1,124OO.过动点P分别作圆2O、圆2O的切线PMPN,(MN,分别为切点),使得2PMPN.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.yxQMNO【解析】以12OO的中点O为原点,12OO所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则1(20)O,,2(20)O,.由已知2PMPN,得222PMPN.因为两圆半径均为1,所以221212(1)POPO.设()Pxy,,则2222(2)12[(2)1]xyxy,即22(6)33xy.(或221230xyx)评析:1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。2.定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。例2、已知动圆过定点,02p,且与直线2px相切,其中0p.求动圆圆心C的轨迹的方程;【解析】如图,设M为动圆圆心,,02p为记为F,过点M作直线2px的垂线,垂足为N,由题意知:MFMN即动点M到定点F与定直线2px的距离相等,由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,其中,02pF为焦点,2px为准线,所以轨迹方程为,02p2px22(0)ypxP;◎◎已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,求点P的方程。【解析】由中垂线知,PMPA故10OMPOPMPOPA,即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆,中心为(-3,0),故P点的方程为1251625)3(22yx◎◎已知A、B、C是直线l上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线l于点A,又过B、C作⊙O′异于l的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点,两切线交于点P.由切线的性质知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆,以l所在的直线为x轴,以BC的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P的轨迹方程为:2218172xy评析:定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。三、相关点法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x’,y’表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的条件,然而得出动点的轨迹方程。例3、如图,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。【解析】设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1)则N(2x-x1,2y-y1)代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①又PQ垂直于直线x+y=2,故111xxyy,即x-y+y1-x1=0②由①②解方程组得12321,1212311yxyyxx,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0lO'PEDCBA◎◎已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足.0||,022TFTFPT求点T的轨迹C的方程;【解析】解法一:(相关点法)设点T的坐标为).,(yx当0||PT时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上.当|0||0|2TFPT且时,由02TFPT,得2TFPT.又||||2PFPQ,所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为(yx,),则.2,2yycxx因此.2,2yycxx①由aQF2||1得.4)(222aycx②将①代入②,可得.222ayx综上所述,点T的轨迹C的方程是.222ayx解法二:(几何法)设点T的坐标为).,(yx当0||PT时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上.当|0||0|2TFPT且时,由0||||2TFPT,得2TFPT.又||||2PFPQ,所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中,aQFOT||21||1,所以有.222ayx综上所述,点T的轨迹C的方程是.222ayx评析:一般地:定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法。四、参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。例4、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图4所示).求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;【解析】解法一:以OA的斜率k为参数由2ykxyx解得A(k,k2)∵OA⊥OB,∴OB:1yxk由21yxkyx解得B211,kk设△AOB的重心G(x,y),则22113113xkkykk消去参数k得重心G的轨迹方程为2233yx解法二:设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则332121yyyxxx…(1)∵OA⊥OB∴1OBOAkk,即12121yyxx,……(2)又点A,B在抛物线上,有222211,xyxy,代入(2)化简得121xx∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121xxxxxxxxyyy所以重心为G的轨迹方程为3232xy。◎◎如图,设抛物线2:xyC的焦点为F,动点P在直线02:yxl上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.【解析】设切点A、B坐标分别为))((,(),(0121120xxxxxx和,∴切线AP的方程为:;02200xyxx切线BP的方程为:;02211xyxx解得P点的坐标为:1010,2xxyxxxPP所以△APB的重心G的坐标为PPGxxxxx310,,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以243GGpxyy,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:).24(31,02)43(22xxyxyx即评析:1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型,由于选参灵活,技巧性强,也是学生较难掌握的一类问题。2.选用什么变量为参数,要看动点随什么量的变化而变化,常见的参数有:斜率、截距、定比、角、点的坐标等。3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。4.多参问题中,根据方程的观点,引入n个参数,需建立n+1个方程,才能消参(特殊情况下,能整体处理时,方程个数可减少)。五、交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例5、抛物线)0(42ppxy的顶点作互相垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点O在OGBAyxPl直线AB上的射影M的轨迹。解1(交轨法):点A、B在抛物线)0(42ppxy上,设A(),42AAypy,B(),42BBypy所以kOA=Ayp4kOB=Byp4,由OA垂直OB得kOAkOB=-1,得yAyB=-16p2,又AB方程可求得)4(44222pyxpypyyyyyABABAA,即(yA+yB)y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得AB方程(yA+yB)y--4px+16p2=0①又OM的方程为xPyyyBA4②由①②消去得yA+yB即得0422pxyx,即得2224)2(pypx。所以点M的轨迹方程为2224)2(pypx,其轨迹是以)0,2(p为圆心,半径为p2的圆,除去点(0,0)。评析:用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解2(几何法):由解1中AB方程(yA+yB)y--4px+16p2=0可得AB过定点(4p,0)而OM垂直AB,所以由圆的几法性质可知:M点的轨迹是以)0,2(p为圆心,半径为p2的圆。所以方程为2224)2(pypx,除去点(0,0)。五、向量法:例6、(1995全国理)已知椭圆如图6,162422yx=1,直线L:812yx=1,P是L上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在L上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线总结:以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法,对于下面几点,在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的:1.高考方向要把握高考考查轨迹问题通常是以下两类:一类是容易题,以定义法、相关点法、待定系数法等为主,另一类是高难度的纯轨迹问题,综合考查各种方法。2.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程,求得方程就可以了;若是求轨迹,求得方程还不够,还应指出方程所表示的曲线类型(定形、定位、定量)。3.抓住特点选方法图6处理轨迹问题成败在于:对
本文标题:圆锥曲线轨迹问题
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