水库问题数学模型

集训D试题摘要通过对该电力公司蓄水发电关系的分析，认为该题是将数学模型和数学中的线性代数理论知识相结合，形成一个优化模型，最终用LINGO软件求出结果。若利用该模型，电力公司必定有可观的经济效益。因此，该模型有实用的价值和意义。关键字：最大发电能力、可观的经济效益、库存及流入水量一、问题重述某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图所示。已知发电站A可以将水库A的1万3m的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的1万3m的水转换为200千度电能。发电站A，B每个月的最大发电能力分别是60000千度,35000千度，每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A，B的其他有关数据如下（单位：万立方米）水源A水源B水库A发电站A水库B发电站B水库A水库B水库最大蓄水量20001500水源流入水量本月20040下月13015水库最小蓄水量1200800水库目前蓄水量1900850请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度3=10千瓦时）二、问题分析在现有条件的制约下，要实现该电力公司本月和下月的营业额最大，即本月和下月发电量在小于等于50000千度时以200元/千度的售价与超出50000时以140元/千度的售价售出时的营业额分别达到最大时的情况进行分析。情况一：两个水库每月最多分别有50000千度的电量以200元/千度售出；情况二：两个水库每月最多一起有50000千度的电量以200元/千度售出该问题本身就是一个线性规划问题，它是要求我们利用线性代数的有关知识来解决放多少水，蓄多少水才能使水电公司收益最大。这样我们可以根据题中的数据，利用题中的一系列约束条件建立目标函数，即线性规划方程。最后利用Lingo软件对其求解，取最优解。三、模型建立1、模型假设：假设流入的水与发电同时进行；假设发电量能够全部能够卖出；假设电售价不受市场影响；假设发电设备无故障运行；假设A水库流入B水库的水量中途无损失；假设水源流入量不受自然因素的影响；假设电能输送过程中损失忽略不计。2、符号说明1m：本月A水库以200元/千度售出的电的用水量（万3m）；2m：本月A水库以200元/千度售出的电的用水量（万3m）；1n：本月B水库以200元/千度售出的电的用水量（万3m）；2n：本月B水库以200元/千度售出的电的用水量（万3m）；1x：本月A水库以140元/千度售出的电的用水量（万3m）；2x：本月A水库以140元/千度售出的电的用水量（万3m）；1y：本月B水库以140元/千度售出的电的用水量（万3m）；2y：本月B水库以140元/千度售出的电的用水量（万3m）；z：该电力公司本月和下月的营业额（元）。3、决策变量12121212;;;;;;;mmnnxxyy4、分析建立模型水库A用于200元/千度出售量12400mm，用于140元/千度出售量12400x+x；水库B用于200元/千度出售量12200n+n，用于140元/千度出售量12200y+y；两个水库电能总售价为：12121212200*400200140*400200zmmnnxxyy约束条件模型一：水库A本月发电后蓄水量应介于最高和最低之间：1112002100x+m2000，水库A下月发电后蓄水量应介于最高和最低之间：1122120022302000xmxm，水库A本月最大发电量不超过60000千度：1140060000xm，水库A下月最大发电量不超过60000千度：1240060000xm水库B本月发电后蓄水量应介于最高和最低之间：11118008901500xmyn，水库B本月发电后蓄水量应介于最高和最低之间：112211228009051500xmxmynyn，水库B本月最大发电量不超过35000千度：1120035000yn，水库B下月最大发电量不超过35000千度：2220035000yn两个水库本月最多分别有50000千度电以200元/千度卖出对水库A：140050000m两个水库下月最多分别有50000千度电以200元/千度卖出240050000m由上所得模型一为：1212121211112211221111112211221max200*400200140*40020012002100-x+m2000120022302000400600004006000080089015008009051500200zmmnnxxyyxmxmxmxmxmynstxmxmynyny1221235000200350004005000040050000nynmm公式一约束条件模型二：水库A本月发电后蓄水量应介于最高和最低之间：1112002100x+m2000，水库A下月发电后蓄水量应介于最高和最低之间：1122120022302000xmxm，水库A本月最大发电量不超过60000千度：1140060000xm，水库A下月最大发电量不超过60000千度：1240060000xm水库B本月发电后蓄水量应介于最高和最低之间：11118008901500xmyn，水库B本月发电后蓄水量应介于最高和最低之间：112211228009051500xmxmynyn，水库B本月最大发电量不超过35000千度：1120035000yn，水库B下月最大发电量不超过35000千度：2220035000yn两个水库本月最多总共有50000千度电以200元/千度卖出11400m+200n50000两个水库本月最多总共有50000千度电以200元/千度卖出：22400m+200n50000由上所得模型二为：1212121211112211221111112211221max200*400200140*40020012002100-x+m2000120022302000400600004006000080089015008009051500200zmmnnxxyyxmxmxmxmxmynstxmxmynyny122112235000200350004002005000040020050000nynmnmn公式二5、模型求解在公式一下，由lingo软件见程序一求解得：A本月A下月B本月B下月单价200元/千度的用水量（万立方米）125125175175单价140元/千度的用水量（万立方米）252500电力公司本月和下月的营业总额（元）36,800,000在公式二下，由lingo软件见程序二求解得：A本月A下月B本月B下月单价200元/千度的用水量（万立方米）37.51251750单价140元/千度的用水量（万立方米）112.5250175电力公司本月和下月的营业总额（元）32,600,0006、结果分析：导致模型一和模型二两个的最终答案不一致的根本原因是：两个模型所得的用水量相同，即650万3m。我们考虑到每月最多有50000千度的电量以200元/千度售出是每个电站都是50000千度还是两个电站总共是50000千度售出，从而导致了以200元/千度售出的量不同使得最终结果不一样。四、模型优缺点与推广1.该模型分两种情况讨论发电站使用怎样的方式发电更能够得到最大营业额：2.本模型基本符合题目的要求，较好的反映了实际情况。3.模型可以反映放水量、发电量和电力公司的利润之间的关系4.模型没有考虑水力发电成本问题，如机器设备的折旧费等。5.模型简单易懂，便于电力公司接受和采用。6.如果综合考虑发电成本，以及价值规律对其影响的话，那么得出结果将更加符合实际情况。7.本模型利用线性规划原理进行模拟分析，可以通过LINGO软件求解，故可以推广到某些领域，如饮料厂的生产与检修计划、饮料的生产批量等问题。8.由于假设的局限性，在实际运用中难免出现精度问题。五、参考文献1.谢金星，薛毅编著优化建模与LINGO/LINDO软件9.0版【M】.北京清华大学出版社20052.http：//附录（根据lingo软件）程序一（公式一）model:Max=200*400*m1+200*400*m2+200*200*n1+200*200*n2+140*400*x1+140*400*x2+140*200*y1+140*200*y2;2100-x1-m11200;2100-x1-m12000;2230-x1-m1-x2-m22000;2230-x1-m1-x2-m21200;x1*400+m1*40060000;x2*400+m2*40060000;890+x1+m1-y1-n11500;890+x1+m1-y1-n1800;905+x1+m2+x2+m2-y1-n1-y2-n21500;905+x1+m1+x2+m2-y1-n1-y2-n2800;y1*200+n1*20035000;y2*200+n2*20035000;400*m150000;400*m250000;end程序二（公式二）model:Max=200*400*m1+200*400*m2+200*200*n1+200*200*n2+140*400*x1+140*400*x2+140*200*y1+140*200*y2;2100-x1-m11200;2100-x1-m12000;2230-x1-m1-x2-m22000;2230-x1-m1-x2-m21200;x1*400+m1*40060000;x2*400+m2*40060000;890+x1+m1-y1-n11500;890+x1+m1-y1-n1800;905+x1+m2+x2+m2-y1-n1-y2-n21500;905+x1+m1+x2+m2-y1-n1-y2-n2800;y1*200+n1*20035000;y2*200+n2*20035000;400*m1+200*n150000;400*m2+200*n250000;end