江苏省扬州市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题

2015．7[来源:学科网]（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．直线10xy的倾斜角为▲.2．不等式031xx的解集是▲.3．经过点(2,1),且与直线2350xy平行的直线方程是▲.4．已知数列na是等差数列,且25815aaa,则9S▲.5．直线x－y－5＝0被圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0所截得的弦的长为▲．6．001cos10cos85▲．7．在约束条件12yxxyxy下，目标函数yxz2的最大值为▲.8．已知aR，直线l：(1)30axay，则直线l经过的定点的坐标为▲.9．在ABC中，已知,30,4,3340Aba则ABC的面积为▲.10．等差数列na中，nS是其前n项和，12014a，20142012220142012SS，则2015S的值为▲.2014—2015学年度第二学期期末调研测试试题高一数学高考资源网11．ABC三内角为CBA,,，若关于x的方程22coscoscos02CxxAB有一根为1，则ABC的形状是▲.12．在R上定义运算:(1)xyxy，若不等式:()()2xaxa对实数[1,2]x恒成立，则a的范围为▲.13．已知na是公差为d的等差数列，nb是公比为q的等比数列。若对一切nN,1nnnaba总成立，则dq▲.14．若ABC的内角,AB满足sin2cos()sinBABA，则当B取最大值时，角C大小为▲.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足sincoscAaC．[来源:学科网ZXXK](1)求角C的大小；(2)求()3sincos()4fAAB的最大值.16．（本题满分14分）等比数列na中，637,63SS．(1)求na；(2)记数列nS的前n项和为nT，求nT．17.（本题满分15分）在ABC中，C的平分线所在直线l的方程为2yx，若点A（-4,2），B（3,1）.(1)求点A关于直线l的对称点D的坐标；(2)求AC边上的高所在的直线方程；(3)求ABC得面积.18.（本题满分15分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(0)t万元满足x＝4－k2t＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍(生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分)．(1)求常数k，并将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？[来源:学*科*网Z*X*X*K]19．（本题满分16分）在平面直角坐标系中，圆O：224xy与x轴的正半轴交于点A，以A为圆心的圆A：222(2)(0)xyrr与圆O交于,BC两点.（1）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于,DE，当线段DE长最小时，求直线l的方程；（2）设P是圆O上异于,BC的任意一点，直线PB、PC分别与x轴交于点M和N，问OMON是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.20．（本题满分16分）已知数列na的前n项和为nS，1a1＝，0na，nnnSaa1＋＝+1，其中为常数．(1)证明：数列21na是等差数列；(2)是否存在实数λ，使得na为等差数列？并说明理由；(3)若na为等差数列，令1141nnnnnbaa，求数列nb的前n项和nT．xNACEMyBPODl扬州市2014—2015学年度第二学期期末调研测试试题高一数学参考答案2015．71．42．1,33．2370xy4．455．66．27．358．(3,3)9．833或43310．011．等腰三角形.12．21a解：由题：()[1()]2xaxa对实数[1,2]x恒成立，即2220xxaa对实数[1,2]x恒成立，记22()2fxxxaa，则应满足22(1)1120faa，化简得220aa，解得21a13．1解析:由111nnnnnnbaaqbaa,得211nnnaaqa，所以2111()(2)()andanddqandd对nN恒成立，从而22dqd.若0,d则2211aqa，得1q；若1,q则0d，综上1dq.14．23解：由条件得sin2sincos()BAAB,2sin2sincoscos2sinsinBAABAB所以222sincos2tantan12sin13tanAAABAA,由此可知(0,)2A，(0,)2B，tan0A，23tan133tantanBAA，当且仅当3tan3A时，即6A时，max3(tan)3B，B的最大值为6，从而角C大小为23．[来源:Z&xx&k.Com]15．解(1)由sincoscAaC及正弦定理得tan1C，……………………3分在ABC中，(0,)2C，5分4C．……………………7分(2)由(1)4C，34AB，34BA……………………9分3()3sincos()3sincos[()]4443sincos2sin()6fAABAAAAA………………12分因为304A，所以当3A时，()3sincos()4fAAB的最大值为2．……………………14分16．解：(1)若1q，则362SS，与已知矛盾，所以1q。…………………………2分从而3136161711631aqSqaqSq解得112aq，因此12nna．………………………………………………7分(2)由(1)，求得21nnS，……………………………………………………………………………………9分于是12212121nnT12122212nnnn………………………………………14分17．解：（1）设点A关于l的对称点(,)Dmn21442224222nmmnnm[来源:学科网]∴(4,2)D…………………………………………………………………………5分（2）∵D点在直线BC上，∴直线BC的方程为3100xy，因为C在直线2yx上，所以3100224xyxyxy所以(2,4)C。……………………………8分∴13ACk，所以AC边上的高所在的直线方程的方程为3100xy。…………10分（备注：若学生发现ACBC,进而指出AC边上的高即为BC，AC边上的高所在的直线方程的方程为3100xy也可以）（3）11210101022ABCSACBC…………15分18．解(1)由题意，当0t时，1x，代入x＝4－k2t＋1中，得1＝4－k1，得k＝3故x＝4－32t＋1，∴y＝1.5×6＋12xx×x－(6＋12x)－t……………………………………………5分＝3＋6x－t＝3＋64－32t＋1－t＝27－182t＋1－t(t≥0)．……………………………………………7分(2)由(1)知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.由基本不等式9t＋12＋t＋12≥29t＋12·t＋12＝6，………………………12分当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时等号成立，……………………13分故y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5－6＝21.5.…………………………14分答：该厂家2016年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大。………………15分19．解：（1）设直线l的方程为1(0,0)xyabab，即0bxayab，由直线l与圆O相切，得222abab，即221114ab，……………4分2222222114()()16DEababab，当且仅当22ab时取等号，此时直线l的方程为220xy．………8分(2)设00(,)Bxy，1110(,)()Pxyyy，则00(,)Cxy，22004xy，22114xy直线PB的方程为：011101()yyyyxxxx直线PC的方程为：011101()yyyyxxxx分别令0y，得100110010101,,MNxyxyxyxyxxyyyy所以OMON222222221001100122220101(4)(4)4MNxyxyyyyyxxyyyy为定值。……16分20．解：(1)证明：由题设，λSn＝anan＋1+1，λSn-1＝anan-1+1，两式相减得λan＝an(an＋1－an-1).因为an≠0，所以an＋1－an-1＝λ，所以a2n＋1－a2n-1＝λ，数列{a2n-1}是等差数列．………4分(2)由题设，a1＝1，λS1＝a1a2+1，可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.……………………………………6分由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．…………………………………………………………………………………………………………10分(3)由题意可知，bn＝(－1)n-14nanan＋1＝(－1)n-14n（2n－1）（2n＋1）＝(－1)n-112n－1＋12n＋1.………12分当n为偶数时，Tn＝1＋13－13＋15＋…＋12n－3＋12n－1－12n－1＋12n＋1＝1－12n＋1＝2n2n＋1.当n为奇数时，Tn＝1＋13－13＋15＋…－12n－3＋12n－1＋12n－1＋12n＋1＝1＋12n＋1＝2n＋22n＋1.所以Tn＝2n＋22n＋1，n为奇数，2n2n＋1，n为偶数.(或121(1)21nnnTn)………………………………16分