材料力学5弯曲应力

第五章弯曲应力目录第五章弯曲应力§5-2纯弯曲时的正应力§5-3横力弯曲时的正应力§5-4弯曲切应力§5-6提高弯曲强度的措施目录§5-1纯弯曲回顾与比较内力NFA应力PIT目录§5-1纯弯曲弯曲时，截面上的分布内力系可以合成为剪力Fs、弯矩M。RAP1纵向对称面FsMORAP1剪力Fs切向内力系弯矩M法向内力系RAP1切向内力系法向内力系平面对称弯曲：梁有纵向对称面，外力作用在此面内，梁的变形对称于纵向对称面。纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲§5-1纯弯曲目录§5-2纯弯曲时的正应力一、变形几何关系§5-2纯弯曲时的正应力xaabbmnnmm´a´a´b´b´m´n´n´平面假设：横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。单向受力假设：纵向纤维只承受单向拉、压，相互之间没有挤压。（b）必然有一层纤维既不伸长，也不缩短，称为中性层。内部变形将梁视为无数平行底面的纵向纤维层（垂直纵向对称面），则：（a）每层上的各条纤维伸、缩量相等。（同层上的纤维条受力相同）纯弯曲变形的特点：横截面绕中性轴产生相对转动。中性层与横截面的交线为中性轴。中性轴z垂直与梁的纵向对称面（加载平面）。中性层中性轴横截面纵向对称面§5-2纯弯曲时的正应力目录建立坐标dxaabbmnnmooy横截面内正应力的分布yz此式不能用于求应力，ρ未知。yEEp胡克定理二、物理关系zy0ANdAF0AydAEMMzMdAyEA20zAydAS中性轴过形心yM0AEyzdAMIEzAzdAyI2截面对z轴的惯性矩yzdAσM横截面上法向分布力系可以简化为FN、My、MzdA0AdAz0yzAIyzdAy为对称轴AdAyzEIM1弯曲变形基本公式yEEIz：截面抗弯刚度yz为形心主轴三、静力学关系zIMy弯曲正应力公式σ——横截面上距中性轴为y的点的应力。M——横截面上的弯矩。Iz——横截面对中性轴z的惯性矩。M、y代绝对值，应力为拉应力或压应力由弯矩方向确定。ZmaxmaxIMymaxZMWZmaxZIWy•与中性轴距离相等的点，正应力相等；正应力大小与其到中性轴距离成正比；•中性轴上,正应力等于零minZMWzEIM1yE应力分布图yzMMMMMzIMyyzyzyz常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面AdAyI2ZZmaxyzIW644ZdI332zdW)1(6444ZDI34(1)32zDW123ZbhI26zbhW12123300ZbhhbI33000()/(/2)1212zbhbhWh§5-2纯弯曲时的正应力目录§5-3横力弯曲时的正应力目录弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲横力弯曲正应力公式ZIMymaxmaxmaxmaxZZMyMIW横力弯曲最大正应力目录§5-3横力弯曲时的正应力•细长梁的纯弯曲或横力弯曲•横截面惯性积IYZ=0•弹性变形阶段公式适用范围弯曲正应力强度条件ZWmaxmaxmaxmaxzMyMσσI1.等截面梁弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑ttmax,ccmax,3.变截面梁要综合考虑与MzI目录§5-3横力弯曲时的正应力利用强度条件，可以进行三方面强度计算。（1）校核强度；（2）设计几何尺寸；（3）确定许可载荷；解题思路：（1）外力分析（一般要求反力）；（2）内力分析（要画内力图）；（3）应力分析与强度计算。确定许可载荷应先设定单位例已知：l=1m，q=6kN/m，梁由10号槽钢制成。截面尺寸如图，Iz=25.6104mm4。求梁的最大拉应力、最大压应力。qABly1=15.2y2=32.8100z解：（1）作弯矩图，求最大弯矩。（2）最大应力。kNmqlM316212122max在固定端。固定端截面弯矩为负，截面上半部受拉，下半部受压。ztIyM1maxmaxMPammmmNmm178106.252.15103446zCIyM2maxmaxMPammmmNmm385106.258.32103446221ql281qlFAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFSx90kN90kNmkN605.0160190CM1.求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）解：例题5-1目录§5-3横力弯曲时的正应力BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMxm67.5kN8/2ql30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正应力C截面弯矩mkN60CMC截面惯性矩45Zm10832.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCC目录§5-3横力弯曲时的正应力BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMxm67.5kN8/2ql30zy180120KFSx90kN90kN3.全梁最大正应力最大弯矩mkN5.67maxM截面惯性矩45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyM目录§5-3横力弯曲时的正应力BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMxm67.5kN8/2ql30zy180120KFSx90kN90kN4.C截面曲率半径ρC截面弯矩mkN60CMC截面惯性矩45Zm10832.5Im4.194106010832.510200359CZCMEIEIM1目录§5-3横力弯曲时的正应力120202080例题5－2、T字形截面铸铁梁受力及截面尺寸如图所示，已知材料的许用拉应力[t]=40MPa，许用压应力[C]=80MPa，该校核该梁的强度。解：（1）求反力,画弯矩图3.5kN13.5kNCy1=52y2=88zy3.5kNm5kNm12kNBDAC5kN1m1m1m（2）确定截面几何性质求形心的位置求截面对形心轴z的惯性矩FAFBIz=7.64106mm4MC截面MB截面y1=52y2=88zyIz=7.64106mm4正弯矩段：上压、下拉，最大拉压应力发生在C截面（M+max）62635108840376410CtmaxzMy..MPaI.61635105223876410CCmaxzMy..MPaI.负弯矩段：上拉、下压，最大拉压应力发生在B截面（M-max）6165105234176410BtmaxzMy.MPaI.6265108857676410BCtmaxzMy.MPaI.梁上最大拉、压应力403tmax.MPa576Cmax.MPa例7-2要求校核强度。40tMPa80CMPa强度满足要求。40tMPa80CMPa§5-4弯曲切应力目录xdxxyPmq(x)ABmnm1n1分几种截面形状讨论弯曲切应力一、矩形截面梁(//)sF1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力2、切应力沿截面宽度均匀分布关于切应力的分布作两点假设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz§5-4弯曲切应力目录根据微段静力平衡方程和切应力互等定理可以推导出横截面上距离中性轴为y的横线上的切应力为m1n1mndxpp1q1qyττ’σdAFN1FN2zyy1*szzFSIbSz*—距中性轴为y的直线一侧的面积对中性轴的静矩。Fs—截面上的剪力；Iz—截面的对中性轴z的惯性矩；b—截面上承受切应力的宽度；yyhyhyyc221221byhA211AyScz2242yhbszzFSIb讨论1、沿高度方向呈抛物线分布；2、中性轴上切应力最大；3、梁上下表面处切应力为零。AFbhFssmax2323矩形截面上的最大切应力为平均切应力1.5倍；szFhyI22242h2hbzysFybhh223412§5-4弯曲切应力二、圆形截面梁Fsmax243sFRyzyHhbd腹板是一狭长矩形，关于矩形截面的切应力的假设仍然成立。bISFzzsyF2222s()()824yzbdhHhyIdsmaxmaxzzFSIdminmaxsFhd只讨论腹板上的切应力三、工字形截面腹板上切应力近似均布，且承受了整个截面上97%的剪力。中性轴上在整个截面上例题：比较矩形截面梁横截面内的最大切应力和最大正应力。Fyzbhl解：最大弯矩FlMmax最大正应力最大切应力26bhFlWMzmaxmax各个截面的剪力FFsbhFmax23lhmaxmax4若l＝5h，则max＝0.05max可见，最大切应力远小于最大正应力。实心截面梁正应力与切应力比较对于直径为d的圆截面maxmax=6(l/d)§5-4弯曲切应力目录（l为梁的跨度）实心截面梁正应力与切应力比较对于宽为b、高为h的矩形截面maxmax=4(l/h)§5-4弯曲切应力目录（l为梁的跨度）对于细长梁，控制因素为正应力。一般满足了正应力强度条件，就满足切应力强度条件。梁的跨度较短（l/h5），弯矩小、剪力大的梁，例如在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力强度。薄壁截面梁qBACDElPPa有些情况必须考虑弯曲切应力弯曲切应力强度校核一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上，且*SmaxzmaxmaxzFSτ=Ibz*zmaxIS型钢可查表maxzS是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩。切应力强度条件：梁上的最大切应力max≤[]ABqF=qaCa2aE2qa281qa(-)例题4-10图示梁为工字型截面，跨长2a=4m、q=25KN/m；材料许用应力[]=160MPa，[]=100MPa。试选择工字钢型号。qaqa21qa23(-)(+)(-)2、内力分析——确定Fsmax、MmaxmkN100kN75232qaM,qaFmaxmaxS解：1、外力分析——支反力0AMqaFB21qaFA250BMABqF=qaCa2a-qa(-)qa21qa23(-)(+)E2qa281qa(-)3、按正应力强度条件选型钢ZWMmaxmax363cm6251016010100maxZMW查表选32a工字钢mm59cm4627.d,.SI*maxzz3cm2692.Wz4、校核切应力32310591046271075..d)SI(F*maxZmaxsmaxMPa827.100MPa][zWMmax因此，设计梁的主要依