2013届高三数学二轮复习课件 专题10 第2讲 坐标系与参数方程

•1．理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．•2．了解参数方程；了解参数的意义；了解平摆线、渐近线的生成过程，并能推导出它们的参数方程；了解其它摆线的生成过程；了解摆线在实际中的应用．•本讲是新课标新增内容，也是选考内容．这部分在高考中以考查基础为主，题型主要是填空题和解答题，难度较小．从近几年高考看，主要考查数形结合思想、读图识图能力和转化能力．预计2012年的高考对这部分的内容，题量、难度不会发生变化．1．极坐标系(1)极坐标系取定一点O，取定从点O出发的一条射线Ox，再规定长度单位及角的正方向，就建立了一个极坐标系，其点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标与直角坐标相互转化的两组公式：x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx.•(3)与极轴垂直且经过点(a,0)(其中a0)的直线：ρcosθ＝a；•与极轴平行且在极轴上方，与极轴距离为a的直线：ρsinθ＝a；•与极点距离为p，且与过极点与极轴成α角的直线OH垂直的直线：ρcos(θ－α)＝p.(4)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆：ρ＝2rcosθ；圆心在过极点与极轴成π2的射线上，且过极点，半径为r的圆：ρ＝2rsinθ；圆心在(ρ0，θ0)，经过极点的圆：ρ＝2ρ0cos(θ－θ0)．2．参数方程(1)参数方程的定义：如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某一个变数t的函数x＝fty＝gt，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M都在曲线上，那么这个方程组就叫做曲线的参数方程．t称为参数，参数可以有几何意义，物理意义中，也可以没有明显的意义．•(2)参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同的形式，但它们都是表示曲线上任意一点的坐标x，y之间关系的，这两种形式的方程可以相互转化，从而实现它们之间的转化，有利于发挥它们各自的长处．(3)常见的曲线的参数方程过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t是参数)，参数t的几何意义是P0到直线上任意一点P(x，y)的有向线段P0P的数量圆心为A(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x＝a＋rcosαy＝b＋rsinα(α为参数)，参数α的几何意义是以圆心A为顶点且与x轴正方向同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径与原射线所成的角．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程：x＝acosθy＝bsinθ，其中参数θ通常称为离心角．抛物线y2＝2px的参数方程表示为x＝2pt2y＝2pt(t为参数)，t＝xy表示抛物线上的点与抛物线顶点连线的斜率的倒数．[例1]已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα，(t为参数)，圆C2：x＝cosθ，y＝sinθ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．•[分析]参数方程化为普通方程，再研究关系[解析](1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，(12，－32)．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα，(α为参数)，P点轨迹的普通方程为(x－14)2＋y2＝116.故P点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．•[评析]在将参数方程化为普通方程时，为消去参数，常用的方法是加、减消元、代入消元、平方相加等，要注意观察参数方程特点，选择恰当的消元法．(2011·江苏，21)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x＝5cosφy＝3sinφ(φ为参数)的右焦点，且与直线x＝4－2t，y＝3－t(t为参数)平行的直线的普通方程．[解析]由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)，将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y＝12(x－4)，即x－2y－4＝0.•[例2](2011·江西理，15)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．•[答案]x2＋y2－4x－2y＝0•[解析]因为ρ＝2sinθ＋4cosθ，•所以ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，•即x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.•圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.•(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；•(2)求经过圆O1，圆O2交点的直线的直角坐标方程．•[解析](1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得•ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x.•即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．•同理x2＋y2＋4y＝0为圆O2的直角坐标方程．(2)由x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋4y＝0，解得x1＝0，y1＝0，或x2＝2，y2＝－2.即圆O1，圆O2交于点(0,0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.[例3](2011·辽宁理，23)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝cosφ，y＝sinφ，(φ为参数)，曲线C2的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ，(ab0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值．(2)设当α＝π4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－π4时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．[解析](1)C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直线坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝31010.当α＝－π4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为2x′＋2xx′－x2＝25.•[答案]2(2011·湖南理，9)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．•[解析]C1化为普通方程为圆x2＋(y－1)2＝1.C2化为直角坐标方程为直线x－y＋1＝0，圆心为(0,1)，在直线上，∴直线与圆相交．