3-3-柯西积分公式及其推论

上页下页铃结束返回首页1第三节柯西积分公式及其推论一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考上页下页铃结束返回首页2一、问题的提出.,0中一点为为一单连通域设BzB,d)(0Czzzzf一般不为零所以.)(,)(00不解析在那末内解析在如果zzzzfBzf根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值..0的闭曲线内围绕为zBC上页下页铃结束返回首页3,,00zzzC的正向圆周半径为很小的为中心取作以积分曲线,)(的连续性由zf,)(0处的值接近于它在圆心的缩小而逐渐的值将随着上函数在zzfC)(.d)(d)(000缩小将接近于CCzzzzfzzzzfCzzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC上页下页铃结束返回首页4定理3.11设区域𝑫的边界是周线(或复周线)𝑪,𝒇(𝒛)在𝑫内解析,在𝐷=𝑫+𝑪上连续,则有：𝒇𝒛=𝟏𝟐𝝅𝒊𝒇𝝇𝝇−𝒛𝑪𝒅𝒛(𝒛∈𝑫).这就是柯西积分公式.1、Cauchy积分公式定义3.4在定理3.11的条件下，称为柯西积分。𝒇𝒛=𝟏𝟐𝝅𝒊𝒇𝝇𝝇−𝒛𝑪𝒅𝒛(𝒛∉𝑪).上页下页铃结束返回首页5柯西积分公式定理D0zC证,)(0连续在因为zzf,0则,0)(𝑓(𝑧0)=12π𝑖𝑓(𝑧)𝑧−𝑧0d𝑧.𝐶如果函数𝑓(𝑧)在区域𝐷内处处解析,𝐶为𝐷内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于𝐷,𝑧0 为𝐶内任一点,那末6D0zCK,0时当zz.)()(0zfzf,:)(,00的内部全在的正向圆周半径为为中心设以CRzzKRRzRCzzzzfd)(0则Kzzzzfd)(0KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000Kzzzzfzfzifd)()()(20007Kszzzfzfd)()(00.π2dKsR上不等式表明,只要R足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]Czzzzfizfd)(21)(00柯西积分公式柯西介绍Kzzzzfzfd)()(008关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)定理的特殊情形，有如下的解析函数的平均值定理.柯西积分公式的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数各种局部性质的重要工具.9定理3.12解析函数的平均值定理𝒇(𝒛𝟎)=𝟏𝟐𝝅𝒇(𝒛𝟎𝟐𝝅𝟎+𝐑𝐞𝒊𝝓)𝒅𝝓,如果函数𝑓(𝑧)在圆𝜍−𝑧0𝑅内解析,即𝑓(𝑧)在圆心的值等于在圆周上的值的算术平均数.在闭圆𝝇−𝒛𝟎≤𝑹上连续,则10三、典型例题例1解44.d3211)2(;dsin21(1)zzzzzzzzi求下列积分4dsin21(1)zzzzi,sin)(在复平面内解析因为zzf,40内位于zz114.d3211)2(zzzz44d32d11zzzzzz2212ii.6i12𝜋𝑖sin𝑧𝑧d𝑧𝑧=4;0由柯西积分公式=sin𝑧𝑧=012例22.d1zzzze计算积分解,)(在复平面内解析因为zezf,21内位于zz由柯西积分公式122d1zzzzeizze.2ie13例3.d)1(1212izzzz计算积分解)1(12zz))((1izizzizizz)(1)(zf,21)(内解析在因为izzf,0iz由柯西积分公式212d)1(1izzzz21d)(1izzizizzizizzi)(122212ii.i14.))(9(,22diCC求为圆周设例3.10(P121）15例3.11试证:在圆𝒛𝑹内𝒇(𝒛)至少有一个零点.设函数𝒇(𝒛)在闭圆𝒛≤𝑹上解析.如果存在𝒂𝟎,使当𝒛=𝑹时, 𝒇(𝒛)𝒂,而且𝒇(𝟎)𝒂,提示：用反证法及解析函数的平均值定理。16使用柯西公式计算积分应注意：（1）积分路径为周线；（2）被积函数的分子为解析函数；（3）在周线内仅有被积函数的一个不解析点。注：如果给定的积分被积函数在C内部有两个以上奇点，就不能直接应用柯西积分公式。17练习.d)1(32zzzzze计算积分答案1,1,0zzz有三个奇点).2(d)1(132eeizzzezz18习题中的题1912解).1(,d173)(,3222ifzzfyxCC求表示正向圆周设根据柯西积分公式知,,内时在当Czzizf)173(π2)(2),173(22zzi),76(2)(zizf故,1内在而Ci).136(2)1(iif所以2011.πd)cos(sin,dπ0cos1ezzezz并证明求积分解根据柯西积分公式知,1dzzzze02zzei;2i)ππ(,irez令,1rz1dzzzzedππiireirereeidππieei21dsincosππieiππcosπ0cosd)sin(sind)cos(sin2eeidππieei,π2d1izzezz因为ππcosπ0cosd)sin(sind)cos(sin2eei1dzzzze比较两式得.πd)cos(sinπ0cose22四、小结与思考柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西积分定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.Czzzzfizf.d)(21)(00柯西积分公式:2610;211(1):,d14sin2zCzzzC其中计算积分解2112d14sin)1(zzzz211d114sinzzzzz114sin2zzzi;22i2710;211(2):,d14sin2zCzzzC其中计算积分2112d14sin)2(zzzz211d114sinzzzzz114sin2zzzi;22i解2822d14sin)3(zzzz由闭路复合定理,得10.2(3):,d14sin2zCzzzC其中计算积分解22d14sinzzzz2112d14sinzzzz2112d14πsinzzzzii2222.2i