【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习-第二章-第九节-函数模型及其应用演练知能检测-文

1第九节函数模型及其应用[全盘巩固]1．(2014·日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析：选B由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大．2．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系式正确的是()A．s(t)＝60t,0≤t≤52B．s(t)＝60t，0≤t≤1，80t－60，1t≤52C．s(t)＝60t，0≤t≤1，0，1t≤52D．s(t)＝60t，0≤t≤1，60，1t≤32，80t－60，32t≤52解析：选D由题意可得路程s与时间t之间的关系式为s(t)＝60t，0≤t≤1，60，1t≤32，80t－60，32t≤52.3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：2x－2－10123y0.240.5112.023.988.02则下列函数与x，y的函数关系最接近的是(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bxC．y＝ax2＋bD．y＝a＋bx解析：选B由数据可知x，y之间的函数关系近似为指数型．4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么()A．人可在7秒内追上汽车B．人可在10秒内追上汽车C．人追不上汽车，其间距最少为5米D．人追不上汽车，其间距最少为7米解析：选D设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝12t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝12t2－6t＋25＝12(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7.5．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是()解析：选C法一：依题意，当0≤a≤1时，S(a)＝a－a2＋2a＝－12a2＋3a；当1a≤2时，S(a)＝12＋2a；3当2a≤3时，S(a)＝12＋2＋a＝a＋52；当a3时，S(a)＝12＋2＋3＝112，于是S(a)＝－12a2＋3a，0≤a≤1，2a＋12，1a≤2，a＋52，2a≤3，112，a3.由解析式可知选C.法二：直线y＝a在[0,1]上平移时S(a)的变化量越来越小，故可排除选项A、B.而直线y＝a在[1,2]上平移时S(a)的变化量比在[2,3]上的变化量大，故可排除选项D.6．(2014·温州模拟)某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽车费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是()A．8年B．10年C．12年D．15年解析：选B当这辆汽车使用n年时，相应的年平均费用为15＋1.5n＋0.3n＋nn－2×0.3n＝1230n＋0.3n＋3.3≥12×230n×0.3n＋3.3，当且仅当30n＝0.3n，即n＝10时取等号，因此这辆汽车使用10年时，相应的年平均费用最少．故这辆汽车报废的最佳年限是10年．7．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：依题意有a·e－b×8＝12a，∴b＝ln28，∴y＝a·e－ln28·t若容器中只有开始时的八分之一，4则有a·e－ln28·t＝18a.解得t＝24，所以再经过的时间为24－8＝16min.答案：168．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：设该公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，利润为L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15x－153152＋0.15×1532225＋30，由于x为整数，所以当x＝10时，L(x)取最大值L(10)＝45.6，即能获得的最大利润为45.6万元．答案：45.69．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.610．设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元．设每天的购票人数为x，盈利额为y元．(1)求y与x之间的函数关系；(2)该旅游景点希望在人数达到20人时就不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元(取整数)？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)解：(1)根据题意，当购票人数不多于100时，可设y与x之间的函数关系为y＝30x－500－kx(k为常数，k∈R且k≠0)．∵人数为25时，该旅游景点收支平衡，∴30×25－500－k25＝0，解得k＝50.5∴y＝30x－50x－500x∈N*，x，30x－50x－x∈N*，x(2)设每张门票价格提高为m元，根据题意，得m×20－5020－500≥0，∴m≥25＋55≈36.2，故每张门票最少要37元．11．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·80000x－200＝200，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时，上式取等号，即当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．12．某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x(元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求6出这个最大值．解：(1)依题意y＝[2000＋－xx－，0＜x≤20，[2000－x－x－，20x40，∴y＝－xx－，0＜x≤20，－xx－，20x40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y＝400[－x－2＋81]，0＜x≤20，100－x－4722＋10894，20x40.若0＜x≤20，则当x＝16时，ymax＝32400(元)．若20x40，则当x＝472时，ymax＝27225(元)．综上可得当x＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．[冲击名校]1．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)·(n－10)，n10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝0n，100n，200n，300n，400n现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多()A．600元B．900元C．1600元D．1700元解析：选Dk(18)＝200，∴f(18)＝200×(18－10)＝1600.又∵k(21)＝300，∴f(21)＝300×(21－10)＝3300，∴f(21)－f(18)＝3300－1600＝1700.故乙所得奖励比甲所得奖励多1700元．2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过的部分为每吨3.00元．若甲、乙两户某月共交水费y元，且甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨，则y关于x的函数关系式为________．7解析：依题意可知，当甲、乙两户用水量都不超过4吨，即0≤x≤45时，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲户用水量超过4吨，乙户用水量不超过4吨，即45x≤43时，y＝3(5x－4)＋4×1.8＋3x×1.8＝20.4x－4.8；当甲、乙两户用水量都超过4吨，即x43时，y＝3(5x－4＋3x－4)＋4×1.8×2＝24x－9.6.故y＝14.4x0≤x≤45，20.4x－4.845x≤43，24x－9.6x43.答案：y＝14.4x0≤x≤45，20.4x－4.845x≤43，24x－9.6x43[高频滚动]1．定义域为R的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，方程f(x)＝log2013x的实数根的个数为()A．1006B．1007C．2012D．2014解析：选A因为f(x)在R上是奇函数，其图象关于直线x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，所以f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f(x)为周期函数，周期T＝4.令log2013x＝1，得x＝2013，故f(x)＝log2013x的实根有2×503＝1006个．2．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A．(－1,1]∪(2，＋∞)B．(－2，－1]∪(1,2]C．(