1.7.1-定积分在几何中的应用

人教课标A版数学选修2-21.7.1定积分在几何中的应用1.7定积分的简单应用：前面，我们运用分割→近似代替→求和→取极限的过程，求出了一些曲边梯形(由函数()yfx(()0fx≥)的图象和直线xa,xb,x轴围成的平面图形)的面积.并把它们浓缩成了一个结果:定积分(()bafxdx)复习微积分基本定理（牛顿－莱布尼茨公式）()d()()()bbaafxxFxFbFa我们知道定积分()bafxdx的几何意义：它是介于x轴、函数()fx的图象及两条直线,xaxb之间的各部分面积的代数和.(在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号)321SSSdxxfba)(1S2S3S1()baAfxdx221[()()]baAfxfxdx思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:()yfxab图1.曲边梯形xyo)(1xfy)(2xfyab图2.如图xyo图4.如图)(1xfy)(2xfyab0xy图3.如图)(xfyab0yx3()baAfxdx421[()()]baAfxfxdx例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解：两曲线的交点(0,0)(1,1)OB120(-)Sxxdx或32130233()xx.31-OABDOABCSSS梯曲形曲梯形11200xdxxdx201yxxxyx及oxy2yx2yxABCD例题3211300233xx211333.方法小结求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.作图象;2.求交点的横坐标,定出积分上、下限;3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.例2计算由曲线2yx，直线4xy以及x轴所围成的图形的面积.解:两曲线的交点(0,0),(8,4).24yxyx直线与x轴交点为(4,0)2yx4yx880424()xdxxdxS1S248812044224[()]SSSxdxxdxxdx488044224()()xdxxdxxdx3828204221404323|()|xxx802124842()sxdx法：38202283|x22401628334201432[()]syydy法：234011426()|yyy2311404444263212xy4xy练习1（例2变式题）：计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积解:两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxyxy224xy12280222224()SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822022222124332|()|xxxx练习16642618333212xy4xy4221422[()]syydy法：234211426()|yyy18课堂小结求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.作图象;2.求交点的横坐标,定出积分上、下限;3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.练习2：计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解:两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6)xAxxdx2xyxxy631A2A于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式．练习