15-高阶统计量与分数低阶统计量信号处理

2020/4/27大连理工大学1第15章高阶统计量与分数低阶统计量信号处理大连理工大学硕士研究生校管课程信号分析与数据处理电子信息与电气工程学部邱天爽2013年12月内容概要•§15.1概述•§15.2高阶矩与高阶累积量•§15.3高阶谱与高阶谱估计•§15.4Alpha稳定分布与分数低阶统计量•§15.5非高斯信号处理应用§15.1概述2020/4/27大连理工大学4•1.高斯分布与非高斯分布–传统信号处理中，通常假定随机信号与噪声服从高斯分布：•服从中心极限定理（大量随机变量之和趋于高斯分布）；•便于计算分析。–但是实际应用中，大部分随机信号是非高斯分布的；–若采用高斯分布来描述，会使所设计的信号处理系统退化。2020/4/27大连理工大学5•非高斯信号分析与处理成为信号处理领域的热点研究问题–科学技术的发展提出了这种需要；–数学、信号处理和计算机技术的发展，提供了这种可能。2020/4/27大连理工大学6•2.矩与统计量的概念–根据上图，二阶矩以上的统计矩称为高阶矩或高阶统计量，其范围为，一般取整数阶。–二阶矩以下的统计矩称为分数低阶矩，或分数低阶统计量，其范围为（0,2），可以取这个范围内的任何值。(2,)2020/4/27大连理工大学7•二阶矩与二阶统计量–主要包括相关与功率谱等概念方法；–在最优信号处理方面，基于二阶矩的最小均方误差准则，往往是重要的选择；–设表示具有零均值的广义平稳离散随机信号。–在不引起混乱的情况下，以x(n)来表示同样的离散随机信号。x(n)的二阶统计矩（自相关序列）定义为(){()}Xnxn()[()()]XRmExnmxn2020/4/27大连理工大学8•二阶矩与二阶统计量（续）–与其傅里叶变换即功率谱密度函数–一起构成基于二阶或二阶统计量的统计信号建模、分析和处理的基础。–在过去的半个世纪中，自相关函数和功率谱密度函数为信号处理提供了许多重要的概念和结构，例如随机信号的频域表示，自适应滤波和线性预测理论等。()XRm()()jwmxxmPwRme2020/4/27大连理工大学9•高阶矩与高阶统计量–在非高斯信号处理中，一些信号的二阶统计量无法描述信号的特征，需要采用高阶统计量。例如三阶和四阶统计量：31212(,)[()()()]ckkExnxnkxnk412312312321312(,,)[()()()()][()()][()()][()()][()()][()()]ckkkExnxnkxnkxnkExnxnkExnkxnkExnxnkExnkxnkExnkxnk2020/4/27大连理工大学10•信号的双谱和三谱–信号的双谱和三谱分别是信号的三阶累积量和四阶累积量的二维和三维傅里叶变换：123123121122(,)(,)exp[()]kkCwwckkjkwkw12341234123112233(,,)(,,)exp[()]kkkC2020/4/27大连理工大学11•Alpha稳定分布–是广义的高斯分布;–是唯一的一类构成独立同分布（i.i.d.）随机变量之和的极限分布；–不存在二阶和高阶统计量；–因此常规的基于二阶统计量的信号处理算法退化；–常用分数低阶统计量的方法进行信号处理。2020/4/27大连理工大学12•分数低阶统计量–统计矩从0阶一直延伸至无穷，最常用的是一阶和二阶统计量；–（0,2）阶的统计量称为分数低阶统计量；–有多种分数低阶统计量，例如共变、分数阶相关、分数阶协方差等；–分数低阶统计量适合于Alpha稳定分布信号处理。§15.2高阶矩与高阶累积量2020/4/27大连理工大学14•1.高阶矩的定义–令是k个连续的随机变量，则这k个变量的k阶矩表示为特别地，令则上式变成单变量x(t)的k阶矩,即：12(),(),,()kxtxtxt1,1,,112()()()kmExtxtxt1211()(),()(),,()()kkxtxtxtxtxtxt1111(,,){()()()}kkkmExtxtxt2020/4/27大连理工大学15•2.高阶累积量的定义–随机信号的阶累积量表示为：–说明：上式是定义式，一般不用于计算。1111(,,)cum[(),(),,()]kkkcxtxtxt()xtk2020/4/27大连理工大学16•3.高斯信号的高阶矩和高阶累积量–设是高斯随机变量，均值为0，方差为，其概率密度函数表达式为–则第一特征函数为–随机变量x的各阶原点矩可表示为22221()2xfxe22j/2()()dexfxex()xt()0d()(j)(j)(0){}dkkkkkkkmEx2020/4/27大连理工大学17–对第一特征函数求各阶导，并且将带入所得的各阶导数表达式，得高斯随机变量的高阶矩计算结果，即–根据各阶导数的规律，高斯随机变量的任意高阶矩可表示为()0,13(1),kkkmkk为奇数为偶数2412340,,0,3mmmm02020/4/27大连理工大学18–高斯随机变量的第二特征函数是第一特征函数的自然对数–高斯变量的各阶累积量，即–综上所述，任意高斯随机过程的二阶矩和二阶累积量相等，均等于其方差；–奇数阶矩恒为0，偶数阶矩不为0；3阶及以上各阶累积量恒为0。–由此看出，高阶累积量对于高斯随机过程是“盲的”，即高阶累积量适用于处理非高斯信号。22()ln()/22120,,,0,3,4,.....kccck2020/4/27大连理工大学19•4.非高斯信号•非高斯信号的定义–概率密度函数为非高斯函数的信号称为非高斯信号；–非高斯信号一定存在某个高阶累积量不为0。•斜度(skewness)的概念–实信号的斜度定义为：––斜度是衡量一个随机信号偏离对称分布的歪斜程度。()xt3{()}xSExt2020/4/27大连理工大学20•峰度（kurtosis）的概念–实信号的峰度定义为：–归零化峰度（左）和归一化峰度（右）()xt422{()}3{()}xKExtExt442222()()3,{()}{()}xxExtExtKKExtExt归零化峰度=0归零化峰度0归零化峰度02020/4/27大连理工大学21•矩和累积量的关系–高阶矩和高阶累积量可以互相转换：–（1）用高阶矩表示高阶累积量：–（2）用高阶累积量表示高阶矩：–式中：和分别表示符号集的矩和累计量。pI111()(1)(1)!()qppqqppIIcIqmI11()()qppqppIImIcI()pmI()pCI2020/4/27大连理工大学22•矩和累积量的性质–设和分别表示k个随机变量的k阶矩和累积量–性质1：设为常数，为随机变量，其中i=1,2,3,…,k，则：12mon(,,,)kxxx12cum(,,,)kxxx12,,,kxxxiix11221211122121mon(,,,)mon(,,,)cum(,,,)cum(,,,)kkkikikkkikixxxxxxxxxxxx2020/4/27大连理工大学23–性质2：矩和累积量关于他们的变元是对称的，即：其中是（1,2,…,k）的一个排列–性质3：矩和累积量相对于其变元具有可加性由以上三个性质可知，累积量相对于其变元是线性的。12121212mon(,,,)mon(,,,)cum(,,,)cum(,,,)kkkiiikiiixxxxxxxxxxxx12(,,...,)kiii111111mon(,,,,)mon(,,,,)mon(,,,,)cum(,,,,)cum(,,,,)cum(,,,,)iikikikiikikikxxyxxxxxyxxxyxxxxxyx2020/4/27大连理工大学24–性质4：若随机变量和随机变量统计独立，则累积量具有半不变性：•由性质4得出一重要结论：若一个非高斯信号是在与之独立的加性高斯有色噪声中被观测，则观测过程中的高阶累计量将与非高斯信号的高阶累积量恒等。–性质5：若随机变量一子集与其余部独立，则–性质6：若是常数，则{}ix{}iy11221212cum(,,,)cum(,,,)cum(,,,)kkkkxyxyxyxxxyyy{}ix12cum(,,,)0kxxx1212cum(,,,)cum(,,,)kkxxxxxx§15.3高阶谱与高阶谱估计2020/4/27大连理工大学26•高阶谱的概念–假定随机信号的高阶累积量是绝对可和的，则k阶累积谱定义为：k阶累积量的维离散傅里叶变换，即–高阶谱是多个频率的谱，称为多谱。三阶谱称为双谱用来表示，四阶谱称为三谱。()xt121(,,,)kkc1122111j()121121(,,,)...(,,,)ekkktkkkkSc12(,)B123(,,)T1k2020/4/27大连理工大学27•双谱的性质①双谱一般是复数，可表示为幅值与相位的乘积②对称性：③周期性：双周期函数，两周期均为。12j(,)1212(,)(,)eBB1221(,)(,)BB21212(,)(2π,2π)BB2020/4/27大连理工大学28•【例】方波与余弦信号的累积量与双谱2020/4/27大连理工大学29•双谱估计的直接法–第1步：将数据样本分成段，每段长。–第2步：计算每段的傅里叶变换，即–第3步：计算DFT系数的三重相关：–第4步：由段双谱估计平均得出双谱估计：KM1()()j2/01()()eMkknMnXxnM111121()()()1211221212201ˆ(,)()()()LLkkkkiLiLbXiXiXiiK12121122100122ˆˆ(,)(,),,KsskkffBbKNN2020/4/27大连理工大学30•双谱估计的间接法–第1步：将数据样本分成段，每段长。–第2步：计算每段的三阶累积量，即–第3步：取各段三阶累积量的平均值：–第4步：计算双谱估计：KM21()()()()1(,)()()(),1,2,,MkkkknMcijxnxnixnjkKM()11(,)(,)KkkcijcijK12j()12ˆˆ(,)(,)eLLiliLlLBcil§15.4Alpha稳定分布与分数低阶统计量2020/4/27大连理工大学32•1.Alpha稳定分布的概念–Alpha稳定分布是一种典型的非高斯分布；–它没有统一的PDF表达式，但具有统一的特征函数表达式：•式中，02011()exp{j[1jsgn()(,)]}uauuuwutan(/2),1(,)(2/)log,11,0sgn()0,01,0wuuuuuu2020/4/27大连理工大学33•参数说明–是特征指数，控制稳定分布过程的脉冲性程度，其值越小脉冲性越强；–是对称系数，表示对称分布，这样的分布记为分布；–是分散系数，类似于高斯分布的方差；–a为位置参数，对应于稳定分布的均值或中值。–Alpha稳定分布可以作为描述非高斯信号和噪声的模型。0SS020112020/4/27大连理工大学34•Alpha稳定分布与其他分布的关系–Alpha稳定分布当参数选择不同数值时，对应与不同的分布类型：•当，Alpha稳定分布对应于高斯分布此时，。•当，Alpha稳定分布对应于柯西分布。•当，Alpha稳定分布对应于