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1编号:08005110107南阳师范学院2012届毕业生毕业论文(设计)题目:线性方程组的解及其应用目录摘要.........................................................................................................(1)0引言......................................................................................................(1)1线性方程组解的结构.........................................................................(1)2线性方程组的解法及相关结论........................................................(3)2.1线性方程组的解法..........................................................................(3)2.1.1线性方程组的个数和未知量的个数相等..............................(3)2.1.2线性方程组的个数和未知量的个数不相等..........................(5)2.2线性方程组解得的几个结论.........................................................(7)23线性方程组解的应用.........................................................................(8)3.1在矩阵理论中的应用...................................................................(9)3.2在多项式理论中的应用................................................................(9)3.3在欧氏空间上的应用...................................................................(9)3.4在解空间理论上的应用...............................................................(10)参考文献..........................................................................................(10)Abstract...........................................................................(11)第1页共11页1线性方程组的解及其应用作者:段蕴蕴指导教师:马淑云摘要:介绍线性方程组解的结构及其几种解法,如初等行变换法,初等列变换法等,通过对线性方程的解法的探讨,揭示了线性方程组的求解规律,并在此基础上研究了它的应用.关键词:线性方程组,解的结构,初等行变换法,应用0引言线性方程组是高等代数或基础数学的一个组成部分,在整个数学大厦中占据着重要位置,学好线性方程组基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要.对于线性方程组的初等解法,既是线性方程组理论中有自身特色的部分,也与实际问题密切相关.恰当对初等解法进行归类,能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型,从而能按照所介绍的方法解题.文献[1-4]已经有了研究,下面着重讨论线性方程组的结构,求解规律及其在矩阵,多项式,欧式空间及线性空间等几个方面的应用.1线性方程组解的结构定理1[5]设A是一个mn矩阵,P,Q是满足000rIPAQ的两矩阵,令121,,...,,,...,rrnQ.(ⅰ)1,...,n是0AX的一基础解系;(ⅱ)方程组mnn1m1AX=b(*)有解的充分必要条件是0,0nrIPb;(ⅲ)若方程组(*)有解,则(*)的解的集合1,...,rnWSpan.第2页共11页2证明(ⅰ)因为000rIPAQ,于是121(,,...,,,...,)rrnA=AQ=1000rIP=0mrC,其中,mrC为1P中前r列组成的矩阵,于是有中前列1(,...,)rnAA1(,...,)rnA0,即0iA,1,...,irn又1,...,n线性无关,所以(ⅰ)成立.(ⅱ)令1YQX.有上述定理知,方程组(*)有解当且仅当方程组000rIYPb(1)有解,并且X是(*)的解当且仅当Y是(1)的解,显然方程组(1)有解当且仅当Pb后的mr行为0,即(0,)mrIPb0.(ⅲ)若(*)有解,即(0,)mrIPb0,则iKF,1,...,irn,取rr+1n(I0Pbk...rY)显然Y是(1)的解,故rr+112rr1nn(I0PbkX(......,...)...rQY),,,,,,12rr1(...)(I0Pbniiirk,,,)12r1(...niiirPbk,,,,...,0,...0)是方程组(*)的解.因此,方程组(*)的解集合W为1,...,rnWSpan.第3页共11页3上述命题给出了方程组(*)的可解性和解的结构与,PQ之间的关系。有趣的是从命题中还可看出,不但矩阵121,,...,,,...,rrnQ的后nr列是相应齐次方程组0AX的一基础解系,而且Q的前r列的一个线性组合12r1(...niiirPbk,,,,...,0,...0).于是方程组(*)的解集合W是矩阵Q的列空间的一个子集.特别当系数矩阵A固定时,上述定理给出了一个任意列向量b求解方程AXb的通用公式.求线性方程组的步骤:第一步求出可逆矩阵P,Q使000rIPAQ;第二步检验Pb的后mr行是否为零.第三步若(*)有解令121,,...,,,...,rrnQ,则写出(*)的通解12r1(...FniiiirPbkk,,,,...,0,...0),2线性方程组的解法及相关结论恰当分类线性方程组,可以快速求出线性方程组的解,而在求解和探讨过程中,又能得到一些非常重要的相关结论。2.1线性方程组的解法2.1.1线性方程组的个数和未知量的个数相等现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题,在这里只考虑方程个数与未知量的个数相等的情形.以后会看到,这是一个重要的情形.克拉默法则如果线性方程组第4页共11页411112211211222221122...,...,.................................nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(1)的系数矩阵111212122212.........nnnnnnaaaaaaAaaa(2)的行列式0dA,那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为1212,,,,nndddxxxddd其中jd是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项12,,,nbbb所成的矩阵的行列式.例1用克拉默法则求解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.xxxxxxxxxxxxxx解方程的系数行列式2151130602121476d,而18151930652120476d,从而由克拉默法则知11327381dxd,同理可得2344,1,1.xxx第5页共11页5下面介绍齐次线性方程组的解的方法,齐次线性方程组是指常数项全为零的线性方程组.定理2[6]如果齐次线性方程组1111221211222211220,0,................................0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax的系数矩阵的行列式0,A那么它只有零解,即如果上述方程组有非零解,那么必有0A.例2求在什么条件下,方程组12120,0xxxx有非零解.解如果方程组有非零解,那么系数行列式2110,1所以1.不难验证,当1时,方程组确有非零解.2.1.2线性方程组的个数和未知量的个数不相等介绍了方程组的个数和未知量的个数相等的情形,下面来探讨一般的情形.(线性方程组有解判定定理)线性方程组111122111122...,................................nnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxb(1)有解充分必要条件是它的系数矩阵111211212121111mmmaaaaaaAaaa与增广矩阵第6页共11页61112112122212A=mnnnmmmaaabaaabaaab有相同的秩.则有以下结论:(ⅰ)若秩A秩A,则方程组(1)无解;(ⅱ)若秩A秩An,则方程组(1)有唯一解;(ⅲ)若秩A秩An,则方程组(1)有111,111,11...,..................................rrnnrrrrrrnnxaaxaxxaaxax其中1,...,rnxx一组自由未知量.以下是针对上述三种情形的三个举例:例3解线性方程组12351234512345123452321,332,234527,99616225.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解对增广矩阵作初等变换,可得120321120321113132033451234527074125996162250276111616120321033451003325298000001因此秩A秩A,线性方程组无解.例4解线性方程组第7页共11页712342341242342344,3,31,733.xxxxxxxxxxxxx解对增广矩阵作初等变换,可得123441234410008011130111301003130110535300106073130731300010所以秩A=秩A=4,线性方程组的解为12348,3,6,0.xxxx例5解线性方程组1234123412343124312231,321,231,2221,2552.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解对增广矩阵作初等变换,可得123113211123111222115520215/7002/70000006/7011/705/7102/700000所以秩A=秩A=34,所以方程组的一般解为12324225,7725,7716,77xxxxxx
本文标题:线性方程组的解及其应用
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