定比分点公式的三大应用

第1页共5页1定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面内两个定点，点P0（x0，y0）分有向线段12PP所成的比为，则有11210210yyyxxx（－1）而01012020xxyyxxyy特别地，当点P0为内分点或者与点P1重合时，恒有≥0，当点P为外分点时，恒有＜0（≠－1）。定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。下面举例说明它在解题中的应用。一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,abcca+bcx=且1+c求证：[,]xab。证明：设(),(),()AaBbPx是数轴上的三点，P是AB的定比分点，则定比101abcaxaccabcbxbcP是AB的外分点，则[,]xab。二、用于解决不等式问题例1.已知1,1ab，求证：11abab。证明：设(1),(1),()1abABPab是数轴上的三点，P分AB的比是，则111abab第2页共5页2(1)1(1)(1)11(1)(1)11abababababababababab1,10,abP是AB的内分点，1abab在-1与1之间，即11abab。定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n项和与项数n的关系等问题，具有很明显的相似之处。1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD的上、下底边长分别为l1、l2若平行于底边的截线EF把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为（-1），则EF的长l=121ll(≥0)。特别地，（1）当l1=l2时，条件为一平行四边形，结论仍成立；（2）当l1=0时，条件为一三角形，结论仍成立；（3）当＝1时，即可得到梯形的中位线公式。证明：设BA的延长线与CD的延长线交于O，由三角形相似可得112(1)1(2)lAOlAOABlAOAOABl由（1）（2）可得121lll。依照命题1的推导方法，不难证明出以下命题：命题1’：设梯形ABCD的上，下底边长分别为l1,l2，若平行于底边的截线EF第3页共5页3把梯形的面积分成上下两部分之比为，则有22lEF12221ll（特别当l1=0梯形退化为一个三角形时，结论为2l=122l仍成立。）2、立体几何中的定比分点：命题2：设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为，则有：1210SSS＝。特别地，当＝1时，0122SSS。证明：将棱台补成棱锥，设所补的小棱锥的高为x，截面到上、下底面的距离分别为h和h，则由截面性质定理可得：xhxhhSSxhxSS0201,从而有：010SShhxS…………(1)200SShhxS…………(2),由(1)(2)得０１２０Ｓ－Ｓ＝．Ｓ－Ｓ即：１＋Ｓ＋Ｓ＝Ｓ２１０．依照公式2的推导方法，不难证明出以下两公式：命题2’:设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为，则有1)()()(222120SSS命题2”:设棱台的上、下底面积分别是S1、S2，平行于底面的面积为S0．若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为，则有1)()()(323130SSS注：以上三个公式，对于圆台也同样成立．上述三个“定比分点”公式，形式整齐，结构对称，富有美感，便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题第4页共5页4时，有着广泛的应用。3．数列中的定比分点：命题3：设na是等差数列，其中ap、am、an，满足,nmmp则)1(1npmaaa。证明：ap=a1+(p-1)d，am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d（其中a1、d分别是等差数列na的首项与公差）将ap、am、an代入nmmp中可得1npmaaa命题3’:设na是等差数列，Ｓn是数列na的前n项和，其中Ｓp、Ｓm、Ｓn满足pmmn（1），则1nSpSmSnpm。证明：因为dnnnaSn2)1(1=ndand)2(212那么Sn=An2+Bn，即BAnnSn，所以数列nSn是等差数列，由命题3，即有1nSpSmSnpm。三、用于求函数的解析式对于函数y=f(x),如果能够化为)1)(()(1)(xtxtxtnmy，就与121yyy的形式完全相同（只须把t(x)看成），用数轴上两点P1、P2分别第5页共5页5表示m、n，不妨设mn，P点表示y，且)(21xtPPPP，则当t(x)0时，myn;当t(x)=0时，y=m;当t(x)0时，ym或ym。例3.已知二次函数f(x)满足条件：(1)f(-1)=0；(2)对一切xR，都有21)(2xxfx成立，求f(x)的解析式。本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐，有些学生因为综合能力差，听完讲解后仍然似懂非懂，但如果运用定比分点公式解题则非常简单：解：由21)(,2xxfxRx,可设数轴上的点P1(x,0)、P(f(x),0)，)021(22，xP,且21PPPP，则f(x)=1)21(2xx，因为f(－1)=0,所以01)211(1,解得＝1，所以412141)(2xxxf。四、