量子力学笔记

量子力学量子力学量子力学量子力学一、量子力学的实验基础一、量子力学的实验基础一、量子力学的实验基础一、量子力学的实验基础1.卢瑟福实验：a粒子的质量远大于电子，两者的质心几乎就在a粒子上。虽然二体系统有内部的相互作用，但它们的质心是自由运动的，故电子对a粒子的作用不影响a粒子的运动。a粒子散射时，原子的正电荷部分受到反冲力，导致薄片晶格的振动。2.原子光谱是原子内部电子运动情态的反映。光谱项T。氢原子光谱的频谱是离散的，且不是连续谱亦非由基频和倍频构成的频谱，这个性质直接来源于原子中电子运动具有能级的特性以及光具有粒子性。3.光电效应实验中无法用经典物理学解释的现象：（1）反向遏止电压和入射光强无关；（2）反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系；（3）电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。4.爱因斯坦方程：φω−=ℏT，表示金属电子吸收一份光能量而获得T的动能逸出金属，φ为脱出功，与材料有关。5.光子：（1）博特实验（W.Botheexperiment）表明每份光能量是集中的；（2）贾诺希实验（L.Janossyexperiment）表明每份光子落在何处是偶然事件，也就是说电磁波是光子的概率幅波。（量子力学有整体性，光子的运动受到整个环境的影响。）6.爱因斯坦关系：ωℏℏ==Ekp,。P和E描写光子，k和ω描写单色波。【注意：说光有波粒二象性是沿用经典物理的语言。光有波动性，是指光的运动没有轨道；光具有粒子性，是指光与电子相互作用时像粒子那样，而不像经典的波场那般。】7.康普顿（A.H.Compton）效应应用了“静电子模型”（靶原子的外层电子）。康普顿波长：�ℏAmc0242621.02==Λπ。计算过程中考虑了能量守恒（相对论力学）和动量守恒（矢量力学），2sin22θλΛ=∆。（1）对于原子内层的“束缚电子”，由于它们与原子核束缚的紧，应作为一个整体看待，“静电子模型”不成立。光子撞不动整个原子，只是自己改变方向。因此实验中出现了0=∆λ的成分。（2）对于可见光，能量和动量小，靶原子的外层电子应作束缚电子看待，“静电子模型”不成立。8.德布罗意关系（物质表现波动性）是光的爱因斯坦关系的推广，表示有确定E和p的自由粒子联系一个有确定k和ω的单色平面波。实验证明：戴维孙-革末（Davisson-Germer）电子衍射实验。9.定态是指能量的本征态。Bohr初等量子理论的要点：（1）定态概念；（2）定态之间的跃迁概念；（3）角动量量子化概念——表现为量子化条件。Bohr理论的缺陷：理论应用于简单程度仅次于氢原子的氦原子时，结果与实验不符。对于氢原子，该理论只能求出谱线频率，而不能求出谱线的强度。10.弗兰克-赫兹实验：峰值提高的原因是由于阴极发射电子的能力与灯丝温度有关，灯丝温度越高，发射电子能力越强，提高灯丝电压，灯丝温度相应提高，阴极发射电子能力增强。11.对氢原子的初步分析：由于库仑力是有心力，这就保证了电子绕核运动的角动量守恒。对于类氢原子，必须考虑它的折合质量。原子磁矩（近似可认为是电子所形成的电流乘以其环绕面积，因为原子核磁矩〈〈电子磁矩）为：nceaaecsciMzµππυ2212ℏ−=−==，记)(1093.021200−−⋅×≈=GergceMµℏ，这里采用的是CGS（厘米克秒）单位制。本章重点本章重点本章重点本章重点在于：（1）对定理、定义的理解；（2）对实验的熟悉以及对实验相关细节的理解；（3）计算时需确定题中是否需要用相对论力学，并会用泰勒展开进行近似计算；（4）对于题给数据要考虑是否在计算前进行修正。二、量子力学的基本概念二、量子力学的基本概念二、量子力学的基本概念二、量子力学的基本概念1.量子力学的三大基本特征：几率幅描述；量子化现象；不确定关系。2.根据德布罗意关系，物质是具有波动性的，而波动是时空的过程，因此ψ是x和t的函数。由于薛定谔（dingeroSchr⋅⋅）方程中出现虚数i，所以ψ是个复数。3.德布罗意波德统计解释：在t时刻，粒子落在x点附近xd3体积元中的概率为：xdtxkxdtxP323),(),(ψ=。归一化条件：∫=1),(32xdtxψ。不同的),(txψ描写了粒子不同的量子力学状态——量子态。【注意：一般说来，在讨论少数具有有限静止质量的非相对论性粒子的运动时，使用这种利用),(txψ描写量子态的图像比较适合；在研究大数全同粒子系统，或相对论性的粒子时，采用二次量子化这种图像较为方便。】4.按照统计诠释，波函数),(txψ对于空间坐标来说，必须是处处连续的.....、单值的...和有限的...。5.自由粒子所处空间可视为V=0的空间，在此空间内，粒子不受任何约束，故而粒子在空间各处等概率，即自由空间有平移对称性，也就是说)()(axx+=ψψ。这时，只有选用复数形式的平面波，才能满足对称性原理（皮埃尔·居里）。6.非相对论情形下，自由粒子µ22pE=，由德布罗意关系可知：µω22kEℏℏ==。此时的物质波包的群速度为：VkdkdVg===µωℏ，相速度为：2VpEkdtdxuk====ω，由于0≠=µℏdkdVg，所以物质波包必然要扩散。对于相对论粒子，Vcku2==ω。7.态叠加原理：若),(txiψ，i=1,2,…，代表一定条件下允许的波函数（量子态），则它们的线性叠加),(),(txctxiiiψψ∑=也是同样条件下允许的波函数（量子态），其中ic为任意的复常数。叠加原理成立，要求),(txψ满足的演化规律应是线性的微分方程，它反映微观系统的统计特性与经典统计有重大差别（这是波粒二象性引起的）。8.平均位置),(),(txxtxxψψ=，（波函数在不同表象下都是归一的。）平均动量),(),(),(),(tpptptxitxpΦΦ=∇=ψψℏ。9.薛定谔方程是一个作了“低能近似”（非相对论量子力学）和“外场近似”的近似方程。ψψ∧=∂∂Htiℏ。概率流密度为：)(2∗∗∇−∇=ψψψψmijℏ，定域的概率守恒：jtP⋅−∇=∂∂。10.不确定关系（起着经典力学和量子力学分界线的作用）：2,2ℏℏ≥∆∆≥∆∆tEpx。11.一维定态：（1）V=0的自由粒子（连续谱）；（2）一维无穷深势阱（离散谱）；（3）一维有限深势阱（分别考虑束缚态和自由态）：解的宇称；（4）一维方势垒——隧道效应（反射系数和透射系数）；（5）一维δ势阱（考虑跃变点处波函数性质）；（6）一维简谐振子（厄米方程及其解，能级公式）。【注意：一维线性谐振子的能级公式中出现ωℏ21的原因是不确定关系的存在。】12.对应原理：在大量子数极限下，量子论将渐近地趋于经典理论。（Bohr于量子力学建立前提出）13.量子态可以用波函数表示（波动力学），也可以用矩阵表示（矩阵力学）。量子力学中，态和力学量的各种表示方式称为表象。对于一个量子态，可以用多个表象描述，只是基矢取得不同，得到的“坐标”不同而已。14.大数的、相互独立的、处于相同宏观条件之下的系统的集合，是量子力学的统计对象——叫做量子系综....。量子多体问题的量子力学是单粒子量子力学的直接推广。本章重点本章重点本章重点本章重点在于：（1）态叠加原理的记忆及相关应用；（2）应用薛定谔方程对一维势的计算，包括波函数，能级，波函数的奇偶性，力学量的平均值，反射与透射系数的计算等；（3）22222222sin1sinsin11ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇rrrrrr（三维球坐标）；2222222211zrrrr∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇θ（三维柱坐标）；22222212ϕ∂∂+∂∂+∂∂=∇rrrr（二维）。三、量子力学的数学表述三、量子力学的数学表述三、量子力学的数学表述三、量子力学的数学表述1.量子力学中的算符代表对波函数（量子态）的一种运算。根据态叠加原理可知，力学量的算符必须是线性的。又由于力学量的本征值是实数，所以，力学量的算符一定是厄米算符。因此，力学量的算符是线性厄米算符。2.算符的性质：相等，相加，相乘，对易，反对易。∧∧∧∧∧∧−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ABBABA,。线性，厄米，转置，共轭…3.厄米算符的性质：（1）厄米算符的本征值必为实数；（2）厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交；（3）厄米算符的平方的平均值是非负的。4.一般的不确定关系：2CBA≥∆∆，C为A和B的对易。（可取含实参量ξ的积分：0)()()(23≥−+−=∫∧∧ψψξξbBiaAxdI来进行演算。）【测量是对量子系综进行的。】5.厄米算符的本征函数的性质：（1）正交归一性，证明如下：设)()(,)()(xaxAxaxAmmmnnnψψψψ==∧∧，这里的n和m仅表示mnaa≠，并不意味着na和ma属于离散谱。因为∧+∧=AA，其本征值na和ma总都是实数。那么：xdaaxdAxdAxdAxdAnmmnmnnmnmnm3*3*3*3*3*)()(0ψψψψψψψψψψ∫∫∫∫∫−=−=−=∧∧+∧∧如果mnaa≠，则mψ和nψ正交，∫≠=nmxdnm,03*ψψ。如果mnaa=，则∫xdnm3*ψψ不一定正交。下面，分别讨论三种情形：1本征值属于离散谱情形当本征值na属于离散谱，相应的本征函数是可归一化的，综合正交和归一性，有mnnmxdδψψ=∫3*；②本征值简并情形——正交化手续（可使用施密特正交化方法，重新选取合适的基矢，构建正交归一的函数系。）③本征值属于连续谱情形（可以采用箱归一化定常数，然后规格化。）对于力学量算符∧A的连续本征值谱，)()(xaxAaaψψ=∧，a连续变化。对应不同本征值的本征函数是正交的，故aaxxaa≠′=∫′,0)()(*ψψ，但对于连续的本征值a，从a到aa∆+（a∆是小量）对于实验测量是无法区别的，这导致本征值谱连续时本征函数的规格化条件为：)()()(3*aaxdxxaaaa−′==∫′′δψψψψ。（2）完备性，基的完备性条件：∫∑−=+)()()()()(**yxyxdayxaannnδψψψψ（考虑了离散谱和连续谱的混合谱）。6.混合谱：∑∫+=nnnaaCdaCψψψ，由于mnnmxdδψψ=∫3*，)(3*aaxdaa−′=∫′δψψ，故∫∑∫∫∑+=′−′+=′∧daCaCaaaCadadaCCCaAaannnaaanmmnnmm22*,*)(δδ。7.[定理]若力学量算符∧A、∧B有共同的本征函数系，则0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧BA。[逆定理]若0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧BA，则它们有共同的本征函数系。8.设有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符,...),(21∧∧∧AAA，它们的共同本征态记为aψ，a表示一组完备的量子数。设给定一组量子数a后，就能够确定体系的唯一一个可能状态，则我们称,...),(21∧∧AA构成体系的一组对易可观测量完全集（CSCO）。（也可称为对易力学量完全集或力学量完全集。）【注意：CSCO限于最小集合，一个给定的CSCO中，可观测量数目一般等于体系自由度的数目，但也可以大于。】9.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂=∧∧∧∧HAitAdtAd,1ℏ，Virial定理（束缚定态）：fxxVxT⋅−=∇⋅=21)(21（可选用∧∧∧⋅=pxA求平均值）。10.一个CSCCO（对易守恒量完全集）的成员的选择，涉及体系的对称性。本章重点本章重点本章重点本章重点在于：（1）算符的运算；（2）力学量在本征态中的概率、平均值；（3）利用不确定关系进行近似计算；（4）量子态的矩阵表示以及力学量算符的矩阵表示；（5）厄米算符的正交归一性和完备性。四、单粒子问题四、单粒子问题四、单粒子问题四、单粒子问题1.中心力场中，由于xl∧，yl∧，zl∧两两不对易，故粒子的能级一般是简并的。仅根据能量本征值，并不能把本征态完全确定下来，而需要寻找一组守恒量完全集，用它们的共同本征态来标记一个定态。2.球贝塞尔方程：0)()1(12222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−++ρρρρρRllddRdRd，其一般解是球贝塞尔函数和球诺依曼函数的线性叠加：)()()(ρρρllBnAjR+=。球贝塞尔函数)sin()1()1()(ρρρρρρ