向量组的秩2.3

1第2.3节向量组的秩在线性相关性理论的基础上，本节给出向量组的极大无关组及向量组的秩等重要概念；同时也提供了一种研究矩阵问题的有效方法.返回2极大无关组的概念向量组的秩的定义向量组的秩与矩阵的秩的关系第2.3节向量组的秩返回31.两个向量组之间的线性关系定义2.3.1给定向量组I与向量组II,如果向量组I中每一个向量都可由向量组II线性表示,则称向量组I可由向量组II线性表示;如果向量组I与向量组I可以相互线性表示,则称向量组I与向量组II等价.注①等价概念也用于矩阵和线性方程组等;②向量组的等价关系具有反身性、对称性、传递性.：“等价”满足如下性质.IIIIIIIIIIIIIIIIII等价与等价与等价，且组与）向量组（等价；与等价与向量组）向量组（等价；任何向量组必然与自身）（3214定理2.3.1：设有两个n维向量组,,,,)(21sI,,,,)(21tII若向量组(I)线性无关，且可由向量组(II)线性表示，则st.snssnnsaaaaaaaaaA21222211121121证：设tnttnntbbbbbbbbbB21222211121121stC2121OOOt21tCrArs)()(5.2量组所含向量个数相等两个等价的线性无关向推论,,,,,2121的向量组是两个等价的线性无关与设证ts..tsst故同理可证;,,,,tsts示，可知线性表由由于线性无关向量组2121推论1：若向量组可由向量组r,,,21s,,,21线性表示，且rs,则向量组线性相关。r,,,21证:用反证法即可.6Ax回顾线性无关组性质.6;540),,2,1(321212121221121组所含向量个数必相等）等价的线性无关向量（线性表出，则，，，由，，，）如果（，则表出方式必惟一；能够表出，，，）如果（；不全为零，则）若（分组仍然线性无关；）线性无关组的任何部（被其余向量线性表出；）组中任何向量都不能（线性无关，则，，，设向量组tsaaaaaaakakaksikaaatssssis.相同原组在表达功能上完全该部分组与性无关的部分组，且使从中提炼出它的一个线可设想性质，对给定向量组，由于线性无关组的良好72.极大无关组概念)3,1,2(),1,1,1(),1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(54321考察向量组即:向量组中线性无关的部分组不惟一存在,线性无关的部分组包含向量的个数也可能不一样.;1线性无关其中3215321432,,另外,,,,,,,53214321线性相关和亦即就是以下要引入的极大线性无关组.321,,这里的向量组;,21线性无关.,,321线性无关8(2)向量组中任何一个向量可以由注:“极大”是指线性无关的部分组包含向量的个数最多.满足条件：riii,...,,21,,...,,21线性表示riii为向量组的一个极大线性无关组.riii,...,,21则称定义2.3.1若一个向量组的部分组m,...,,21(1)部分向量组线性无关;riii,...,,21m,...,,219),0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(321设则,,线性无关21,213为一极大无关组21,,,线性无关31,132.,31为一极大无关组类似,231.,32为一极大无关组例1注向量组的极大无关组可能不惟一.,,线性无关32101.向量组A：1,2,…,s中必有极大无关组,且极大无关组不惟一;2.若向量组1,2,…,r线性无关,则1,2,…,r本身就是A的极大无关组;3.若向量组1,2,…,s线性相关,则A的极大无关组所含向量的个数小于s.注:1.仅含零向量的向量组不存在极大无关组;2.任意含非零向量的向量组一定存在极大无关组.结论11极大无关组：练习：求下列向量组的TTTTTTTTTTT),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(321021001410001000130100010002000000132132132121，，）（，，）（，，）（，）（一个向量组的任意两个极大线性无关组所包含的向量个数相等.证：因为两个等价的线性无关向量组所含向量个数相同,向量组的两个极大线性无关组可以相互线性表示,即一定是等价向量组,因此它们所含向量的个数相等.定理2.3.212定理向量组与它的极大无关组等价.根据极大无关组的定义,向量组可由它的极大无关组线性表示;证又它的极大无关组可由该向量组线性表示.故向量组与它的极大无关组可以互相线性表示,即等价.133.向量组的秩：最大无关组的主要性质.)4()3()2(,)1(组含有的向量个数相同同一向量组的极大无关组之间等价；同一向量组的极大无关原向量组等价；向量组的极大无关组与且表法惟一；组中任何向量线性表示极大无关组可将原向量14),,,(2121mmr秩，记作：向量个数为该向量组的的极大无关组中所含的，，，称向量组；规定其秩为存在极大无关组只含零向量的向量组不0)1(定义2.3.3srs),,,(021即有：大于任何非零向量组的秩均.0)2(注(4)在秩为r的向量组中,任意r个线性无关向量都是这个向量组的极大无关组.（3）线性无关的向量组的秩=向量的个数。15TTTTTTTTTTT)3,2,1()0,2,1()0,0,1(4)1,0,0()0,1,0()0,0,1(3)0,1,0()0,0,1()0,0,0(2)0,0,0()0,0,0(132132132121，，）（，，）（，，）（，）（：求下列向量组的秩：例2;)(01r;)(22r;)(33r.)(34r答案164.矩阵的秩与向量组的秩的关系行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。定理2.3.3：矩阵的行秩等于列秩且等于矩阵的秩。这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。5.向量组秩的求法.)8,6,5,1()5,3,2,2(,)4,6,1,3(.3321TTT，求如下向量组的秩例17.2)(2)(000000410521123012301640521854212123521854636521123.)(][321321，，则，可见即可，只需求出，，构造矩阵解rArAArA18T)1,0,1,1(1T)1,1,0,1(2T),,,(01113例4求以下向量组的秩解构造矩阵可得R(A)=3,故r（1,2,3）＝3),,(321A011110101111000100010001100110010111行行196.极大无关组的求法列摆行变换法。例5：求向量组的秩及极大无关组。)0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(4321),,,(4321A01424271220311301422001101330130112rr4220133001101301400010000110130100001000011013013)(),,,(4321Arr是一个极大无关组。421,,,（记录法与逐个考察法就不介绍了。）20例6.)3,2,6,0(,)3,0,2,1()3,1,4,2(,)3,2,2,1(.4321TTTT将其余向量线性表示，并用该极大无关组大无关组求如下向量组的一个极为行最简形：，用初等行变换化令解AA],,,[432136902230600001213333201262420121A0000600022300121300022306000012121关组是向量组的一个极大无因此421,,01860023002133,3)(阶子式又因为有一个，即向量组的秩为故Ar0000100003210031010000100032321034310100006000223001213000223060000121.03231421322列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在同一高度上取一个向量，即可得到极大无关组。我们已经看到：用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组也可以解决矩阵的问题。一个最典型的例子是：)(),(min)(BrArBArnssm这是一个非常重要的关于秩的不等式！23设有n两个维向量组与s,,,21,,,,21ss21sssssssaaaaaaaaa21212222111211ssssssaaaaaaaaaK212222111211sKrs)(,,,21线性无关则这又是一个非常有用的公式。的列向量组线性无关。BEBAnnmmn线性无关且若s,,,2124srsrssss),,(,,,),,(,,,，线性无关，线性相关21212121),,(),,(,,,,,,,tstsrrBA，，则线性表出：由向量组：若向量组结论：21212121.秩等价向量组具有相同的推论：对两个向量组，则有,,,,:,,,:,2211210021rrqqqpppBArrBA与取各自的最大无关组、的秩分别为、设由定义，有7.线性相关性与秩证.210000rrBABABBAA线性表示，从而可由向量组无关的向量组线性表示，可知：线性可由且等价，与等价，与则因必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。