插值算法思想来源

拉格朗日插值法拉格朗日插值法由来在数值分析中,拉格朗日插值法是一种多项式差值方法,它的命名来源于法国十八世纪大数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日。在很多实际问题中都倾向于函数来表示某种内在联系或规律。但是有相当的一部分函数都是通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个这样的一个多项式，这个多项式恰好在各个观测的点取得观测到的值。这样的多项式称为朗格朗日插值多项式。从代数的角度来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在他的著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法产生了不解之缘。牛顿插值法利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化,这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。Hermite插值法其它插值法只要求插值多项式在各结点处满足插值条件，因而无法保证插值多项式及分段插值多项式在结点处导数的连续性，所以，插值函数曲线的光滑度可能很差，这种插值多项式往往还不能全面反映被插值函数的性态，为了得到具有一定光滑程度的函数，许多实际问题不但要求插值函数与被插值函数在各结点处的函数值相同，而且还要求插值函数在某些结点或全部结点上与被插值函数的导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，这样的插值函数一定能更好地逼近被插值函数，我们称满足这种要求的插值问题为埃尔米特插值问题。分段插值随着插值节点数增加,插值多项式的次数也相应增加,而对于高次插值容易带来剧烈振荡,带来数值不稳定。为了既要增加插值节点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可以采用分段插值。三次样条插值高次插值函数的计算量大,有剧烈振荡,且数值稳定性差；在分段插值中，分段线性插值在分段点上仅连续而不可导，分段三次埃尔米特插值有连续的一阶导数，如此光滑程度常不能满足物理问题的需要，样条函数可以同时解决这两个问题,使插值函数既是低阶分段函数,又是光滑的函数，并且只需在区间端点提供某些导数信息。