第6章-渐近相对效率

第6章渐近相对效率第6章渐近相对效率渐效率义•Pitman渐近相对效率(ARE)定义•单样本符号检验和T检验的ARE单样本符号检验和T检验的ARE•Noether定理•推广U统计量极限定理•渐近相对效率计算•渐近相对效率计算•线性秩统计量的渐近相对效率Motivation(I)Motivation(I)•功效函数定性给出了不同检验的“好坏”比较，但缺少定量的比较指标。但缺定标•比较不同检验的角度。功效函数直接比较给定显著水平分别确定–功效函数直接比较。给定显著水平,分别确定拒绝域C与D，使得P0(拒绝域)·,比较P1(拒绝域)的大小绝域)的大小。–比较两个检验取同样的显著水平，达到同样的功效情况所需要的样本容量，需要样本量小的那个检验要好。Motivation(II)Motivation(II)Pit渐近相对效率是在零假设的个邻近区域•Pitman渐近相对效率是在零假设的一个邻近区域规定功效值比较所需的样本量，这里需要解决两个问题：个问题：•通常备择假设是复合假设，参数不是单个点而是开区间，而功效函数的计算需要给定参数后才能算决法考虑备择的参数序该计算。解决方法：考虑备择假设的参数序列，该序列趋于零假设。参数和样本容量的关系般功效函数随样本容•参数和样本容量的关系。一般功效函数随样本容量增大时增大，因此当参数接近与原假设时，可能需要非常大的样本量才能达到给定的功效。解能需要非常大的样本量才能达到给定的功效。解决方法：在样本量趋于无穷时比较两个水平相同的检验。Pitman渐近相对效率Pitman渐近相对效率义检验•定义6.1假设检验问题取一系列特定的备择假设特定假且是对应于假设检验问题的检验统计量ni问题的检验统计量,ni和mi为对应的样本量，如果满足Pitman渐近相对效率(II)Pitman渐近相对效率(II)若满条件的存在•若对一且满足上述条件的存在极限极限称此极限为相对于的Pit渐近相称此极限为相对于的Pitman渐近相对效率，记为ARE(S,T)(AsymptoticRelativeEfficiency)单样本符号检验和T检验的ARE(I)单样本符号检验和T检验的ARE(I)检验密度•检验问题：,密度f(x-),F(t)关于0点对称.()关点T检验•T检验单样本符号检验和T检验的ARE(II)单样本符号检验和T检验的ARE(II)立时时有渐态•零假设成立时，时，Tn有渐近正态分布N(0,1),故当n足够大时，水平的T检验的布(,),大水检拒绝域为•零假设不成立时令•零假设不成立时，令单样本符号检验和T检验的ARE(III)单样本符号检验和T检验的ARE(III)此时功效•此时功效单样本符号检验和T检验的ARE(IV)单样本符号检验和T检验的ARE(IV)有•即有•符号检验符号检验•零假设下：•n充分大时，水平的拒绝域单样本符号检验和T检验的ARE(V)单样本符号检验和T检验的ARE(V)备择择立时总体的布关称•备择选择成立时，总体X的分布关于n对称，Bn也有渐近正态性。n有单样本符号检验和T检验的ARE(VI)单样本符号检验和T检验的ARE(VI)功效数•功效函数•令于是当时•令于是当时，单样本符号检验和T检验的ARE(VII)单样本符号检验和T检验的ARE(VII)•于是功效如下计算，B检验和T检验的AREB检验和T检验的ARE态分布态分•正态分布2=1,,ARE(B,T,正态分布)=2/.•均匀分布U[-1,1].•Laplace分布e-|x|/2.ARE计算总结ARE计算总结态似给拒绝域•零假设下，由正态近似给出了拒绝域；•备择假设下，也有正态近似，但此时正态分布参数有所改变后面我们看到这分布参数有所改变；后面我们看到，这一性质是ARE计算的核心条件；Noether定理(I)Noether定理(I)定设有检验问题序列•定理6.1设有检验问题序列，检验统计量若有与之相联系的数列和满足下列假设A1-A6，满足下列假设A1A6，A1当时有相同的取•A1.当时有相同的取值范围及相同的连续极限分布H(x).Noether定理(II)Noether定理(II)中代有样的•A2.(A1)中i代之以0有同样的假定；•A3A3.•A4导数存在且在=的某•A4.导数存在，且在=0的某一闭域内连续。导数不为0；Noether定理(III)Noether定理(III)•A5.•A6.•则Pitman相对效率定理61证明(I)定理6.1证明(I)设的否定域分别是•设的否定域分别是,满足渐近相对效率要求，即有对于备择假设由得•对于备择假设，由A1得，定理61证明(II)定理6.1证明(II)得•对于零假设，由A2得•由A3，将对备择假设式子中的“方差”替换零假设式子中的“方差”换零假设式子中的方差定理61证明(III)定理6.1证明(III)前个式减得•前面两个式子相减得到•由条件A4和微分中值定理•由条件A4和微分中值定理，定理61证明(IV)定理6.1证明(IV)条件得•再由条件A5,A6得•所以定理61注定理6.1注核条件检验序在•核心条件是A1和A2，即检验序列在零假设和备择假设下有相同的极限分布(通常都是假有极限分布(常都渐近正态分布)；•条件A6中的对同一个检验序列的极限值称•条件A6中的对同一个检验序列的极限值称之为检验序列的效力因子，记为B检验和T检验的ARE(I)(Noether定理理解)连续关点称•设F(t)连续,关于0点对称，密度为f(t),度(),•符号检验符号检验检验•T检验B检验和T检验的ARE(II)(Noether定理理解)的点布其极态•Bn服从pn的两点分布，故其极限服从正态分布分布•故取故取•容易验证他们满足Noether定理条件A1-A6容易验证他们满足Noether定理条件A1A6B检验和T检验的ARE(III)(Noether定理理解)B检验和T检验的ARE(IV)(Noether定理理解)立布中极有•Xn独立同分布，由中心极限定理有,•故取B检验和T检验的ARE(V)(Noether定理理解)特殊ARE特殊ARE态布•正态分布•均匀分布•均匀分布推广的U统计量极限定理推广的U统计量极限定理的核条件在检•Noether定理的核心条件是在H0和H1下，检验统计量序列都有渐近分布。都有分布•前面的U统计量的极限定理是在H0成立是给出的出的。•自然的问题：在H1下，是否还有类似的U统1计量极限定理？H下U统计量极限定理回顾定义H0下U统计量极限定理回顾—定义对分布族的参数如果存在样本量为的样本•对分布族F的参数.如果存在样本量为r的样本X1,,Xr的统计量h(x1,,xr),使得则称参数对分布族F是r可估的,h(x1,,xr)称为的则称参数对分布族F是r可估的,h(x1,,xr)称为的核。•设XX是总体的样本r可估参数有•设X1,,Xn是总体的样本。r可估参数有对称核h(X1,,Xr).则参数的U统计量定义为H下U统计量极限定理回顾性质H0下U统计量极限定理回顾—性质值•均值•方差H下U统计量极限定理回顾性质H0下U统计量极限定理回顾—性质•大样本性质1：若•大样本性质2：若且10则时，10,则时，H下U统计量极限定理回顾投影H0下U统计量极限定理回顾—投影投义给实值数值为的统•投影定义:给定实值函数K(x),均值为0的统计量W在空间上的投影定义为上的投影定义为H下U统计量极限定理回顾投影H0下U统计量极限定理回顾—投影投算•投影计算其中其中H下U统计量极限定理回顾投影H0下U统计量极限定理回顾—投影投的极中极立布•投影的极限----中心极限定理(独立同分布随机变量之和)机)U统计量极限Slk定理并证明V*与V•U统计量极限----Slusky定理并证明Vn*与Vn-在均方误差意义下足够近，即推广的U统计量定义推广的U统计量----定义•此时总体随着参数i变化，考虑总体分布变动时的U统计量的极限分布。动极限分布•设,是r可估参数，为对称核定义U统计量为对称核。定义U统计量推广的U统计量性质推广的U统计量----性质•均值•方差方差推广的U统计量大样本性质推广的U统计量----大样本性质若存在常数使得•定理6.2若存在常数M0,使得对则则,•证明：由定理条件知•证明：由定理条件知，推广的U统计量大样本性质推广的U统计量----大样本性质•由条件对所有成立。而且上式求和项中，仅当c=1时阶数为1/n,其余有限求和项中仅当时阶数为,其余有限项的阶数都为o(1/n),当时是高阶无穷小。穷小推广的U统计量投影推广的U统计量----投影设是实数在空间•设K(t)是实函数，Un(X1,n,,Xn,n)-n在空间上的投影为，上的投影为，•其中推广的U统计量极限定理推广的U统计量----极限定理机变立•定理6.3设随机变量相互独立同分布，分布函数为F(x-n).若分布分布数(n)若–对有其中是大于0的常数–其中是大于0的常数；•则有极限分布N(0,).•证明利用BerryEssean中心极限定理即•证明：利用Berry-Essean中心极限定理即可得到结论。BerryEssean中心极限定理Berry-Essean中心极限定理任意若为差为•对任意n,若是期望为0,方差为1的独立同分布随机变量列，如果分布随机如果则对任意和存在不依赖与的常数A使得•则对任意x和n存在不依赖与n的常数A,使得其中为标准正态分布数•其中(x)为标准正态分布函数。推广的U统计量极限定理推广的U统计量----极限定理定理64设随机变量相互独立同•定理6.4设随机变量相互独立同分布，分布函数为F(x-n).若–对–其中是大于0的常数；其中是大于0的常数；–对则有极限分布(0)•则有极限分布N(0,).•证明：利用Slutsky定理，并由定理6.3即可证明：利用Slutsky定理，并由定理6.3即可得结论。单样本检验问题(I)单样本检验问题(I)单样本检验连续关称•单样本检验问题：F(x-)连续，关于对称，假设检验问题假检在H下样本参数•在H1下，样本,参数i的U统计量单样本检验问题(II)单样本检验问题(II)•,故定理6.4的条件1满足条件满单样本检验问题(III)单样本检验问题(III)单样本检验问题(IV)单样本检验问题(IV)值•F(x)均值•F(x)的方差•由定理6.4得两样本U统计量渐近性质两样本U统计量渐近性质样本立•定理6.5设样本相互独立同分布，分布函数Fm(x)连续，相互布分布数m()续独立同分布，分布函数Gn(x)连续，统计量是自由度(r,s)可估参数的U统计量，对称核若：(1)(1).(2).N=m+n,两样本U统计量渐近性质两样本U统计量渐近性质(3).(4).其中M1,M2为大于0的常数则：有极限分布N(0)分布N(0,).和H下两样本U统计量的对比和H0下两样本U统计量的对比般统渐中有条件其•一般H0下U统计量渐近定理中没有条件4.其差别在于投影之后，采用的中心极限定理差别在于投影之后采用的中极限定是不一样的；•H0下的U统计量采用的是昀基本的中心极限0定理，而H1下的U统计量采用的是Berry-Essean中心极限定理。Essean中心极限定理。两样本检验问题(I)两样本检验问题(I)立布•设相互独立同分布F(x),相互独立同分布F(x-)假相互独立同分布F(x),假设检验•当时，现在看Wilcoxon秩和统计量当时，现在看Wilcoxon秩和统计量W的极限分布两样本检验问题(II)两样本检验问题(II)考虑统•考虑U统计量(1,1)可估参数的U统计量，核为核为两样本检验问题(III)两样本检验问题(III)时•当时，•于是极限分布为单样本位置检验的ARE计算单样本位置检验的ARE计算位检验数•位置检验问题：设函数F(t)连续，关于0点对称()续关点•前面已经分别计算了T检验和符号检验的效前面已经分别计算了T检验和符号检验的效力因子，现在来看符号秩统计量的效力因子的计算不妨设因子的计算。不妨