成考高等数学(二)重点及解析(详细版)

高等数学（二）重点1成考专升本高等数学（二）重点知识及解析（占130分左右）第一章、函数、极限和连续（22分左右）第一节、函数（不单独考，了解即可）一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：2lnsinyx是由lnyu，2uv和sinvx这三个简单函数复合而成.例如：3arctanxye是由arctanyu，vue和3vx这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：（1）常值函数：yc（2）幂函数：yx（3）指数函数：xya(a〉0,1)a且（4）对数函数：logayx(a〉0,1)a且（5）三角函数：sinyx，cosyx，tanyx，cotyx，secyx，cscyx（6）反三角函数：arcsinyx，arccosyx，arctanyx，cotyarcx其中：（正割函数）1seccosxx，（余割函数）1cscsinxx三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要研究对象！第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）一、无穷小1、定义：以0为极限的量称为无穷小量。注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。（2）只有0能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。例1：极限21lim10xx，即当1x时，变量21x是无穷小；但是当0x时，21x就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。例2：下例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（）.A、1sinx(x0)B、1xe(x0)C、2ln1x(x0)D、239xx3x高等数学（二）重点2E、1cosx(x0)F、21x(x0)G、211x1(x)H、sinxx(x0)答案：选C、E、F、H，因为上述选项的极限值均为零！二、无穷大1、定义：当oxx（或x）时，()fx无限地增大或无限减小，则称()fx是当oxx（或x）的无穷大。注意：（1）无穷大是变量，不能与很大的常量混为一谈。（2）无限增大是正无穷大（），无限减小是负无穷大（）。三、无穷小和无穷大的关系：若()fx为无穷大，则1()fx为无穷小；若()fx为无穷小（()fx0），则1()fx为无穷大例如：当2x时，24x为无穷小，则214x为无穷大。当x时，21x为无穷大，则121x为无穷小。第三节、极限的运算方法（重中之重！选择、填空和解答题都会考到）一、直接代入法：对于一般的极限式（即非未定式），只要将0x代入到函数表达式中，函数值即是极限值。注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关.即limCC，C为任意常数（2）求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能针对0xx的时候，而x时则不能用代入法，因为是变量，并非实数！例1：lim44x，1lim33x，limlg2lg2x，6limx，100lim00x例2：3221lim53xxxx=32221lim2523x=27lim3x=73例3：0lim(sin)xxex=00limsin0xe=101例4：2233lim1xxx=333lim31x=004二、未定式极限的运算法（重点，每年必考一题！）高等数学（二）重点31、未定式定义：我们把00、，，，1等极限式称为未定式，因为它们的极限值是不确定的，可能是无穷小，可能是不为零的常数，也可能是无穷大。注意：确定式是指极限值是确定的一个值，不用通过计算就可以推断出。2、四则运算中常见的几个未定式和确定式（1）000，000，000，00为未定式（2）为未定式，为未定式，，为未定式上述和下述的0都代表无穷小，即极限值为零的量。3、几个重要未定式的计算方法（1）对于00未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将0x代入后函数值即是极限值。（对于分子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式）（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。（3）对于未定式：先通分将转化成00或的形式，然后再用上述00或的计算方法进行计算。例1：计算22121lim1xxxx.………00未定式，提取公因式解：原式=211lim11xxxx=11lim1xxx=002例2：计算328lim2xxx.………00未定式，提取公因式解：原式=22(2)(24)lim2xxxxx=22lim(24)12xxx例3：计算220131limxxx.………00未定式，先去根号再提取公因式解：原式=22220(131)(131)lim(131)xxxxx=22203lim(131)xxxx=203lim131xx=32例4：计算232321lim25xxxxx.………未定式，分子分母同除以3x高等数学（二）重点4解：原式=233321lim152xxxxxx=002………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2例5：计算3223lim21nnn.………未定式，先求极限再开三次方解：原式=3223lim21nnn=32231lim12nnn=312=18例6：计算2214lim24xxx.………未定式，先通分，后计算解：原式=2224lim4xxx=222lim4xxx=22lim22xxxx=21lim2xx=14注意常用的几个代数转换公式：22ababab3322ababaabb3322ababaabb三、利用两个重要的极限（重点掌握公式，一般考选择、填空）1、公式：0sinlimxxx=1（把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小的替换）2、公式：1lim1xxx=e或10lim1xxx=e（1）适用范围：一般用于“1”未定式的极限式（2）解题方法：通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量t，再将原极限式中的变量x用新变量t的进行代换，然后转化为公式的形式，最后进行计算。注意：由于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势。例1：计算10lim13xxx.……1未定式，先换元然后用公式求解解：令3tx，得3tx，即13xt……将复杂的变量3x换元成新变量t当0x时，0t……求出新变量的变化趋势所以原式=30lim1ttt=310lim1ttt=3e……转换成新变量的极限式后再用公式求高等数学（二）重点5例2：计算11lim12xxx.……1未定式，先换元然后用公式求解解：令12tx，得12xt，即1112xt……先换元当x时，0t……求出新变量的变化趋势所以原式=1120lim1ttt=11200lim1lim(1)ttttt=1120lim11ttt=12e四、利用等价无穷小的代换求极限（重点、每年必考一题！）1、等价无穷小的定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，即limlim0如果lim=1，称与是等价无穷小，记作～.例1：由公式可知极限0sinlimxxx=1，所以当0x时，sinx与x是等价无穷小.例2：当0x时，函数()fx与tanx是等价无穷小，则0()lim2tanxfxx=12.2、用等价无穷小的代换求极限（1）定理：设、'、、'均为无穷小，又～'，～'，且'lim'存在则lim='lim'或''limlim注意：利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用，但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换，不能对分子、分母的加减式子进行代换。（2）常用的等价无穷小代换（7个）：当0x时，1cosx～212x，ln(1)x～x，1xe～x，sinx～x,tanx～x,arcsinx～x,arctanx～x,,注意：这7个等价无穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具”。在使用时要注意这7个等价无穷小的代换前提是0x的时候，代换时也要根据题意要灵活运用！例1：当0x时，sin2x～2x，tan(3)x～3x,arcsin()x～x,2arctan4x～24x,cos1x～212x，1cos2x～22x，ln(12)x～2x，51xe～5x例2：极限0sin2lim5xxx=02lim5xxx=02lim5x=25………sin2x用2x等价代换高等数学（二）重点6极限0tan3limxxx=03limxxx=0lim33x………tan3x用3x等价代换例3：计算01cos2limsinxxxx.解：当0x时，1cos2x～22x，sinx～x………等价代换所以原式=2202limxxx=0lim2x=2………计算例4：计算0ln(13)limsin2xxx.解：当0x时，ln(13)x～3x，sin2x～2x………等价代换所以原式=03lim2xxx=033lim22x………计算例5：计算011limtan2xxx.解：当0x时，tan2x～2x………等价代换所以原式=011lim2xxx=01111lim211xxxxx=0lim211xxxx=01lim211xx=14………先去根号，再计算第四节、函数的连续性（每年考一题，都以选择或填空形式出现）一、函数的连续性（往往考已知函数在某点0x处连续，求一个未知量常数）1、函数在点0x处的连续定义：设函数()fx在0x的某范围内有定义，如果函数()fx满足00lim()()xxfxfx，则称()fx在点0x处连续2、函数在点0x处连续的充要条件000lim()lim()()xxxxfxfxfx即函数在0x既满足左连续又满足右连续（左连续对应左极限，右连续对应右极限）高等数学（二）重点793xx，0x例1：设函数()fx=在0x处连续，求k.（分段函数）k，0x解：因为函数()fx在0x处连续，即满足0lim()(0)xfxf因为0lim()xfx=093limxxx=0(93)(93)lim(93)xxxxx=0lim(93)xxxx=16且(0)f=k，所以k=16.2xke，x＜0例2：设函数()fx=在0x处连续，求k.（分段函数）1cosx，0x解：因为函数()fx在0x处连续，00lim()lim()(0)xxfxfxf因为0lim()xfx=20limxxkek，0lim()xfx=0lim(1cos)2xx，且(0)f=2所以2k.sin2xx，x＜0例3：设函数()fx=在0x处连续，求a.232xxa，0x解：因为函数()fx在0x处连续，00lim()lim()(0)xxfxfxf因为0lim()xfx=0sin2limxxx=02limxxx=2，0lim()xfx=20lim(32)xxxaa且(