2016-2017学年江西省南昌十中高一(下)第一次月考数学试卷(解析版)

第1页（共21页）2016-2017学年江西省南昌十中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）．1．（5分）下列函数中，周期是的偶函数是（）A．y=sin4xB．.y=tan2xC．y=cos22x﹣sin22xD．y=cos2x2．（5分）数列1，，，，的一个通项公式an是（）A．B．C．D．3．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，4．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形6．（5分）已知cos（α﹣）=，则sin2α等于（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π8．（5分）如图是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）在区间[﹣，]第2页（共21页）上的图象，将该图象向右平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于直线x=对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，若a=4，b=3，cosA=，则B=（）A．B．C．D．10．（5分）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴同向的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个11．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．mB．mC．mD．m12．（5分）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若=λ（λ∈R），=μ（μ∈R），且+=2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上第3页（共21页）D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．14．（5分）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为．15．（5分）如图，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若=λ+μ，则λ+μ=．16．（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于．三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）：（1）求满足=m+n的实数m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．19．（12分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于第4页（共21页）点H，记、分别为，，则=（用，表示）20．（12分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．21．（12分）在△ABC中，若A=，AB=6，AC=3，点D在BC的边上且AD=BD，则AD=．22．（12分）如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上．（1）若OM=，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．第5页（共21页）2016-2017学年江西省南昌十中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）．1．（5分）（2017春•东湖区校级月考）下列函数中，周期是的偶函数是（）A．y=sin4xB．.y=tan2xC．y=cos22x﹣sin22xD．y=cos2x【分析】根据三角函数的周期公式依次判断各函数的周期即可得到结论．【解答】解：对于A：y=sin4x，其周期T=，根据正弦函数的图象可知，是奇函数，∴A不对．对于B：y=tan2x，其周期T=，根据正切函数的图象可知，是奇函数，∴B不对．对于C：y=cos22x﹣sin22x=cos4x，其周期T=，根据余弦函数的图象可知，是偶函数，∴C对．对于D：y=cos2x，其周期T=，根据余弦函数的图象可知，是偶函数，∴D不对．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础．2．（5分）（2013秋•宿州期末）数列1，，，，的一个通项公式an是（）A．B．C．D．【分析】将原数列中的第一项写成分式的形式：，再观察得出每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，从而得出数列1，，，，的一个通项公第6页（共21页）式an．【解答】解：将原数列写成：，，，，．每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，∴数列1，，，，的一个通项公式an是．故选B．【点评】本题主要考查了数列的概念及简单表示法、求数列的通项公式．关键推断{an}中每一项的分式的规律求得数列的通项公式．3．（5分）（2015秋•凯里市校级期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，【分析】不共线的向量可作基底，由向量共线的条件逐个选项判断即可．【解答】解：选项A，可得0×（﹣2）﹣0×1=0，故，不可作基底，故错误；选项B，可得2×（﹣）﹣（﹣3）×=0，故，不可作基底，故错误；选项C，可得3×10﹣5×6=0，故，不可作基底，故错误；选项D，可得﹣1×7﹣2×5≠0，故不平行，故可作基底，故正确．故选D【点评】本题考查平面向量基本定理，向量作基底的条件，涉及向量平行的判断，属基础题．4．（5分）（2007•北京）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．【分析】先根据所给的式子进行移项，再由题意和向量加法的四边形法则，得到，即有成立．第7页（共21页）【解答】解：∵，∴，∵D为BC边中点，∴，则，故选：A．【点评】本题考查了向量的加法的四边形法则的应用，即三角形一边上中点的利用，再根据题意建立等量关系，再判断其它向量之间的关系．5．（5分）（2010•湖北模拟）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形【分析】根据三角形三个内角和为180°，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin（B﹣A）=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．【解答】解：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB．∴cosAsinB﹣sinAcosB=0．∴sin（B﹣A）=0，∵A和B是三角形的内角，∴B=A．故选B【点评】在三角形内会有一大部分题目出现，应用时要抓住三角形内角和是180°，就有一部分题目用诱导公式变形，对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式，必须在复杂的式子中学会辨认公式应用公式．6．（5分）（2017春•东湖区校级月考）已知cos（α﹣）=，则sin2α等于（）A．B．﹣C．D．﹣第8页（共21页）【分析】将已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sinα+cosα的值，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2α的值．【解答】解：∵cos（α﹣）=（cosα+sinα）=，∴cosα+sinα=，两边平方得：（cosα+sinα）2=，即1+2sinαcosα=，则sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．第9页（共21页）8．（5分）（2015•宜宾模拟）如图是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）在区间[﹣，]上的图象，将该图象向右平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于直线x=对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的图象可得T==﹣（﹣）=π，∴ω=2．再由五点法作图可得2×（﹣）+φ=0，∴φ=．故函数的f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）=sin2（x+）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，可得g（x）=sin2（x﹣m+）的图象，∵所得图象关于直线x=对称，∴g（x）=sin2（﹣m+）=±1，∴2（﹣m+）=+kπ，解得：m=﹣kπ，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．第10页（共21页）9．（5分）（2014•西城区二模）在△ABC中，若a=4，b=3，cosA=，则B=（）A．B．C．D．【分析】先利用同角三角函数关系求得sinA的值，进而利用正弦定理求得sinB的值，最后求得B．【解答】解：∵cosA=，0＜∠A＜π∴sinA===∵=，即=，∴sinB=，∴∠B=或，∵sinA=＞∴∠A＞∴∠B=与三角形内角和为180°矛盾．∴∠B=，故选A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中注意对结果正负号的判断．10．（5分）（2017春•东湖区校级月考）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴同向的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由向量的运算可得，分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k的值．【解答】解：∵，，第11页（共21页）∴=﹣=+（k﹣1）∵△ABC为直角三角形，（1）当∠A=90°时，=6+k=0，解得k=﹣6；（2）当∠B=90°时，=2+k﹣1=0，解得k=﹣1；（3）当∠C=90°时，=3+k（k﹣1）=0，方程无实解；综上所述，k=﹣6或﹣1故选：C．【点评】本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件，分类讨论是解决问题的关键，属基础题．11．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．mB．mC．mD．m【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解