第7章 平均数差异的显著性检验

第七章平均数差异的显著性检验回顾样本平均数与总体平均数之间差异的假设检验又叫做总体平均数的显著性检验。如果某个样本平均数与总体平均数的差异达到了显著性水平就可以推翻零假设，认为这个样本不是来自该总体，而是来自其他总体；如果这个样本平均数与总体平均数的差异未达到显著性水平，则要接受零假设，这时就得承认这个样本来自该总体。展望本章将介绍如何由两个样本平均数之差检验两个相应总体平均数之差的显著性。如果某两个样本平均数之间的差异达到了一定的限度，即达到了显著性水平，就可以认为这两个样本来自不同的总体，或者说，这两个样本各自所代表的总体之间有真正的差异；如果两个样本平均数之间的差异不显著，则可以认为，这两个样本平均数之间的差异是由抽样误差造成的，它们所来自的总体的平均数相等或就来自同一个总体。第一节平均数差异显著性检验的基本原理一、基本原理两个样本平均数差异的显著性检验与一个样本平均数显著性检验道理相同。步骤：假设检验一般都要从提出零假设和备择假设开始。然后，分析在零假设成立的情况下某个统计量的概率分布的形态。实验从两个总体中分别抽取一个样本，计算完两个样本平均数的差之后，把样本放回各自的总体，再分别抽取一个样本，计算第二次抽样的样本平均数之差，然后放回各自的总体，再做第三次抽样……这种抽样可以一直进行下去。21111XXD22122XXD23133XXD（第一次抽样）（第二次抽样）（第三次抽样）数理统计学的研究表明，假若21那么两个样本平均数之差的概率分布就是以0为中心的正态分布：概率保留区间0.950D临界值临界值1D要实际地判断样本平均数的差异是否落入了零假设的拒绝区域里，需要以该抽样分布的标准差，即平均数之差的标准误为依据。二、平均数之差的标准误（相关总体）（相关样本）nSrSSSSD2122212两个样本平均数差的抽样误差称为平均数之差的标准误，用一切可能的样本平均数之差在抽样分布上的标准差来表示。NrD2122212-（独立总体，r=0）（独立样本，r=0）nD222112221nSSSDr表示第一个变量总体方差表示第二个变量总体方差表示第一个与第二个变量的相关系数n表示样本容量222122S21S表示第一个变量样本方差表示第二个变量样本方差对两个总体平均数差异的显著性检验涉及到两个总体，要考虑到如下五个因素：样本是相关的还是独立的；总体是正态分布还是非正态分布；总体方差是已知还是未知；总体方差是否齐性；样本的大小。第二节相关样本平均数差异的显著性检验定义：两个样本内个体之间存在着一一对应的关系，这两个样本称为相关样本。（1）用同一测验对同一组被试在试验前后进行两次测验，所获得的两组测验结果是相关样本。（2）根据某些条件基本相同的原则，把被试一一匹配成对，然后将每对被试随机地分入实验组和对照组，对两组被试施行不同的实验处理之后，用同一测验所获得的测验结果，也是相关样本。相关样本平均数差异的显著性检验方法和步骤：（一）提出假设0:,0:10DDHH（二）选择检验统计量并计算其值。在小样本的情况)1(/)(22nnnDDDtD在大样本的情况)1(/)(22nnnDDDZDDDnD表示样本的差数平均数或两个样本平均数之差表示差数的总体平均数表示观察值的差数表示差数的数目（三）确定检验形式包括双侧检验、左侧检验和右侧检验（四）统计决断当进行t检验时，df=n-1。一、配对组的情况例如：有人做了一项分散识字教学法与集中识字教学法的比较实验。根据研究的需要，实验之前先将被试配成对。为了控制无关因素的干扰，配对时研究者考虑了被试以下几方面的情况：智力水平、努力程度、识字量多少及家庭辅导力量等，然后按照各方面条件基本相同的原则，将学生配成了10对，再把每对学生中的一个随机地指派到实验组，另一个指派到对照组。两组学生分别接受用不同的教学法进行的教学。经过一段时间的学习之后，两组学生接受统一的测试，结果如表7.1所示。现在问，两种识字教学法是否有显著性差异？表7.110对学生在两种识字教学法中的测验分数和差数1X2XD2D组别实验组对照组差数值12345678910937291658177898473707674805263628285647217-2111313157-19-22894121169324225401814总和795710851267解：1.提出假设2．计算检验的统计量0:,0:10DDHH)1(/)(22nnnDDDt456.3)110(1010/851267108523．确定检验形式双侧检验4．统计决断因为是t检验，所以要根据自由度df=n-1=10-1=9查t值表(即附表2)，找双侧检验的临界值。262.205.0)9(t250.301.0)9(t250.3**456.3tp0.01，所以，在0.01的显著性水平上拒绝零假设，接受备择假设。即可得出小学分散识字教学法与集中识字教学法有极其显著的差异的结论。又如：某小学为了更有效地训练中年级学生掌握有关计算机操作的基本技能，特对两种训练方法的有效性进行了比较研究。在四年级学生中，根据智力水平、兴趣、数学和语文成绩，以及家庭中有无学习计算机的机会等有关因素都基本相同的条件下，将学生匹配成34对，然后把每对学生拆开，随机地分配到不同的训练组中，经训练后，两组学生考核的分数如下，问两种不同的训练方法是否确实造成学习效果上的显著性差异？学生X1X2D学生X1X2D010203040506070809101112131415161786838075686056487677706562587390828880766865545043727868646056708881-234736654-121223211819202122232425262728293031323334786965456673577472676485817875677677706644627154747063658379757167731-1-11423024-1223403总和3476解：1.提出假设2．计算检验的统计量0:,0:10DDHH031.6)134(34347632402353.2)1(/)(222nnnDDDZD3．确定检验形式双侧检验4．统计决断Z=6.031**2.58，P0.01所以，要在0.01的显著性水平上拒绝零假设，接受备择假设。二、同一组对象的情况例子：某小学在新生入学时对28名儿童进行了韦氏智力测验，结果平均智商=99，标准差=14，一年后再对这些被试施测，结果平均智商=101，标准差=15，已知两次测验结果的相关系数r=0.72，问能否说随着年龄的增长与一年的教育，儿童智商有了显著提高？解：1.提出假设2．计算检验的统计量0:,0:10DDHH954.0128151472.02151410199122222212121nSrSSSXXtXXXX3．确定检验形式左侧检验4．统计决断当df=27时，t=0.9541.703，P0.05所以，要保留零假设，即一年后儿童的智商没有显著地提高。703.105.0)27(t第三节独立样本平均数差异的显著性检验定义：两个样本内的个体是随机抽取的，它们之间不存在一一的对应关系，这样的两个样本称为独立样本。一、独立大样本平均数差异的显著性检验都大于30的独立样本称为独立大样本。独立大样本平均数差异的显著性检验所用的公式是：两个样本容量1n2n2212x-x2121nSnSSXX如假设某小学从某学期刚开学就在中、高年级各班利用每周班会时间进行思想品德教育，学期结束时从中、高年级各抽取两个班进行道德行为测试，结果如下表所示，问高年级思想品德教育的效果是否优于中年级？年级人数平均数标准差高9080.5011中10076.0012解：1.提出假设2．计算检验的统计量210:H211:H69.21001290117650.802222122121nSnSXXZXX3．确定检验形式右侧检验4．统计决断Z=2.692.33，P0.01所以，要拒绝零假设，接受备择假设，由此得出结论：高年级思想品德教育的效果极显著地优于中年级。二、独立小样本平均数差异的显著性检验均小于30，或其中一个小于30的独立样本称为独立小样本。独立小样本平均数差异的显著性检验方法：两个样本容量1n2n1、方差齐性时方法和步骤：如果两个独立样本的总体方差未知，经方差齐性检验表明两个总体方差相等，则要用汇合方差来计算标准误，公式为：)1()1()()(212222112nnXXXXS合212121222211x-x2)()(21nnnnnnXXXXS212121222211x-x21-1-21nnnnnnSnSnSXX）（）（212121222211212)()(nnnnnnXXXXXXt2121212222112122-1-nnnnnnSnSnXXtXX）（）（如：有人在某小学的低年级做了一项英语教学实验，在实验的后期，分别从男女学生中抽取一个样本进行统一的英语水平测试，结果如下表所示。问在这项教学实验中男女生英语测验成绩有无显著性差异？（假定方差齐性）性别人数平均数样本标准差男女252892.295.513.2312.46解：1.提出假设2．计算检验的统计量210:H211:H2121212222112121-1-nnnnnnSnSnXXtXX）（）（0509.0282528252282546.121-2823.131-255.952.9222）（）（3．确定检验形式双侧检验4．统计决断当自由度df=25+28-2=51时，因为|t|=0.05092.009，P0.05所以，要接受零假设，其结论是：在这项教学实验中男女生英语测验成绩无显著性差异。009.205.0)51(t2、方差不齐性时方差不齐性独立样本平均数差异的显著性检验（自学）第四节方差齐性检验定义：对两个总体的方差是否有显著性差异所进行的检验称为方差齐性（相等）检验。一、F分布从方差相同的两个正态总体中，各随机抽取一个样本，分别求出各自所属总体方差的估计值，并计算这两个总体方差估计值的比值，这个比值叫做F比值，用公式表示为：2221SSFF分布的特点是：1.F分布是一簇分布，随分子和分母的自由度不同而有不同的分布曲线（见书P98）。2.F分布是正偏态的，即一簇正偏态的曲线（不过，随着分子和分母自由度的增大而逐渐趋于正态）。3.F比值都是正的。4.由于计算F比值时总把大的方差估计值作为分子，小的作为分母，所以F比值≥1。F检验的基本步骤：第一步：提出假设第二步：选择检验统计量并计算其值第三步：一般情况下，经常应用的是右侧F检验。第四步：统计决断查附表3举例（见教材）两个独立样本的方差齐性检验例：某市初中毕业班进行了一次数学考试，为了比较该市毕业班男女生成绩的离散程度，从男生中抽出一个样本，容量为31，从女考生中也抽出一个样本，容量为21。男女生成绩的方差分别为49和36，请问男女生成绩的离散程度是否一致？解：1．提出假设2．选择检验统计量并计算其值2221XXSSF361.1364922211:H,:22210H3．统计决断查附表3，得F(30,20)0.05=2.04F=1.34F(30,20)0.05=2.16，p0.05，即男女生成绩的离散程度没有达到显著性差异。两个相关样本的方差齐性检验例子：见书P100例1：为了对某门课的教学方法进行改革，某大学对各方面情况相似的两个班进行教改实验，甲班32人，采用教师面授的教学方法，乙班25人，采用教师讲授要点，学生讨论的方法。一学期后，用统一试卷对两个班学生进行测验，得