第4章 动能与势能

力学教案华南师范大学物理与电信工程学院第四章动能与势能主要内容§４.２功功率§４.3动能与动能定理§４.4保守力与非保守力势能§４.５功能原理机械能守恒§４.6碰撞1、功(描述力对空间的积累效应)l恒力的功力对质点所作的功等于该力在位移方向上的分量与位移大小的乘积AFr＝mmFF说明•功是标量，没有方向，只有大小，但有正负•单位：焦耳(J)1J=1N·m§４.２、功与功率rl变力的功分成许多微小的位移元，在每一个位移元内，力所作的功为cosdAFdrFdscosAdAFdrFds＝总功l合力的功()()iiiAFdrFdrFdrA＝＝合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。YOXZbardF讨论1）功A是标量反映了能量的变化正负：取决于力与位移的夹角摩擦力作功一定是负的吗？2）功A是过程量,一般来说功与受力质点的运动路径有关3）功A跟参考系有关4)功A的表达式中,是受力质点的位移,而不是力作用点的位移dr5)计算功的过程中特别要分清研究对象对质点有：()()biiaAAF合dr即，各力作功之和等于合力作的功。但对质点系：写不出像质点那样的简单式子，即，各力作功之和不一定等于合力的功。2)质点系问题iiiiiiLAfdr()iiLfdr?1m2m1L2L对问号的解释：一般的讨论：如图，两个质点走的路径不同。则，各质点的元位移13n2drdrdrdr故不能用一个共同的元位移dr来代替。FOs0s1tetddesr(2).平面自然坐标sFeseFeFAdddttnntt）（nntteFeFFtddesrrFAddOA(r,)reeFrΔ(3).平面极坐标）（）（erereFeFArrrdddddrFrFreFeFFrrererrrdddrFAddl一对内力作功之和系统中任意两质点m1m2的相互作用力2dddAAA11m2mo1r2r12f21f2112ff1L2L212112rfrfdd221112rfrfdd)(2112rrfdd1212rfd12rd质点1相对质点2的元位移12f质点1受质点2的力2112ff一对作用力和反作用力的总功不一定为零。一对力作的功只决定于质点间的相对位移，和所选参考系无关。中学已使用过这个结论。如：21211212rfrfAddd一对正压力的功21AAAdddmMmrNd0一对滑动摩擦力作功mMrrfAdmMrrfd0总功一定减少体系的动能MmmNrfmMrd中学熟知的例子使用这些结果时，思考过是一对力作功之和吗？一对正压力作功之和。=N2drm对M,(因N1=-N2)dW对=N1drM对地+N2drm对地解：=N1drM对地+N2(drm对M+drM对地)=0(因N2drm对M)N2N1M光滑mN1，N2作功均各不为零，但作功之和为零，因两物体无相对位移。证明2、功率•定义：单位时间内完成的功，叫做功率APt＝dAPdt＝•物理意义：表示作功的快慢•功率的公式dAFdrPFvdtdt＝•单位：瓦特(W)l功的计算(1)分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系；(2)写出元功的表达式，选定积分变量；(3)确定积分限进行积分，求出总功。xyzFFiFjFkdrdxidyjdzkxyzAFdxFdyFdz＝[例１]从10m深的井中把10kg的水匀速上提,若每升高1m漏去0.2kg的水.(1)画出示意图,设置坐标轴后,写出力所做元功的表达式.(2)计算把水从井下匀速提到井口外力所做的功.[解](1)建立坐标并作示意图如右,gmmF)d(ygymyFAd)(dd(2)21d)(yyygymA1008.9)2.010(yydJ882gym)(OmFmdy解：例２小球在水平变力作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成角。求：(1)的功，(2)重力的功。FFml变力恒力曲线运动ml例3作用在质点上的力为)(42NjiyFXYO23125.2yx4264xy。求质点从)(21mx处运动到)(32mx处该力作的功：沿直线和抛物线。bazyxBAzFyFxFrFAdddd解：JyxxyxyyFxFAyyxxyxyxyx25.21d4d)6(21d4d2)dd(49132,,221212211直线JyxxyxyyFxFAyyxxyxyxyx8.10d4d2d4d2)dd(491322,,121212211抛物线例4.质量为2kg的质点在力itF12＝(SI)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求（1）前三秒内该力所作的功；（2）t=3s时的功率。解：（一维运动可以用标量）30d12ddddttvttrFrFA＝200003d212d0dttttmFtavvtttJttttttAt7299d36d31234303302（1）（2）W97231232tttvFP＝rFAdd动能定义:rtmddddm221mEK一种推导：元功代入牛顿第二定律思路：与推导动量定理,仍然由牛顿第二定律出发。l1.质点的动能定理为什么是这样的形式?§４.3、动能与动能定理ddmAdmbadmAAba)()(d222121abmmKEA推导dd质点运动的动能定理我们应该学会或说习惯于这种一般性的推导。22222dddddd()dABdABAdB说明：1.功反映力的空间累积，动能定理是关于过程的规律；2.功是物体在某过程中能量改变的一种量度，过程量A可用状态量EK表示，为解决问题提供方便。4.功与动能的大小与参考系有关，但动能定理与参照系的选择无关。3.动能定理只适用于惯性系。l２、质点系的动能定理设由n个质点组成的质点系1m2mimexiFiniF0kkiiiiEEAA内外对第个质点，有i内力功外力功0kk0kkEEEEAAiiiiiiii内外对质点系，有质点系动能定理0kkEEAA内外内力可以改变质点系的动能注意kakbEEAA内外系统外力和内力作功总和等于系统动能的增加。说明：现在的对象是质点系而不是质点。例如：爆炸，人的跑步。都是内力做功&质点系的动能定理★合外力之功≠外力之功的和。★内力能改变系统的总动能，但不改变系统的动量。★功和动能与参考系的选择有关，但动能定理与参考系的选择无关，是绝对的。[例1]一链条总长为l，质量为m，放在桌面上使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则：1）在链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？2）链条刚刚离开桌面时的速率是多少？解：1)坐标系如图，设任一时刻下垂部分的的长度为x。lafxxllmgrfAd)(d注意：摩擦力作负功！glxlmNf)(22)(2)21(allmgxlxlmglaalaoxf方法2：用牛顿定律解(1)任意时刻下垂长度为x,建坐标系如图al-axOmglxTT对下段malxTmglx对上段malxlmglxlTmamglxlmglxglxlglxdxdvvdtdxdxdvdtdvagdxlxllxvdvlaV)(021222)()(alallgv得联立消T,得2)对链条应用动能定理：2022121mvmvEklalgalgv222)()(得20210mvEvklalmgxxlmgrGAlalaG2)(dd22l)al(mgAf22前已得出：kfGEAA由alaox§４.4、保守力的功势能功的数值只与始末位置有关！一、几种常见力的做功特点规定：两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M所在处为原点，M指向m的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。rdrrdrrdrcosbardfA1.万有引力的功rabrdrFMmrdrab)(barrrGMmrGMmdrrGMmba11122.重力的功m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.baGrdgmAXYZOabgmrdbazzmgdzba)kdzjdyidx(k)mg(bamgzmgz功的数值只与始末位置有关！3.弹力的功kxF222121bakxkxbaxxkxdxA)2121(22abkxkx弹簧振子二、保守力与非保守力1.保守力作功只与物体的初、末位置有关，而与路径无关。保守力的另一个特性0dLrFA保保——沿任一闭合路径一周作功为零以后遇到的保守力主要有：重力、万有引力、弹簧的弹力、静电力2.非保守力作功与与路径有关，如摩擦力、爆炸力。三、势能1.势能与物体间相互作用及相对位置有关的能量.P1p2p)(EEEA2.保守力作功等于势能增量的负值弹性势能2p21kxE引力势能rmmGE'p重力势能mgzEp)2121(22ABkxkxA弹力功)'()'(ABrmmGrmmGA引力功)(ABmgzmgzA重力功),,(ppzyxEE•势能是状态函数0),,(pp0d),,(EzyxrFzyxE保00pE令•势能是属于系统的.讨论•势能计算pp0p)(EEEA•势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关.势能是否依赖参考系？质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。3.势能曲线弹性势能曲线0,0pEx重力势能曲线0,0pEz引力势能曲线0,pErpEzOmgzEpxOpE2p21kxErOpErmmGE'p从势能曲线的斜率可得保守力的大小和方向。4.保守力和势能梯度比较得PEAddzFyFxFAzyxddddzzEyyExxEEPPPddddPxEFPx)(kzEjyEixEFPPPyEFPyzEFPz保守力的三个分量在数值上等于系统势能沿相应方向的空间变化率，并指向势能减少的方向。PPEEFgrad在保守力场中质点在某点所受的保守力等于该点势能梯度矢量的负值。§4-5功能原理机械能守恒定律一、质点系的功能原理：由质点系动能定理知：kEAA内外非保内保内内令AAA:EEEAApk非保内外—功能原理系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它作的功。pEA保内非保内内AEAp为机械能式中kpEEE由势能定理知：注意：动能定理中的功，包括外力功和所有内力功。不要重复计算保守力的功。功能原理中的功，包括外力功和非保守内力功。二、机械能守恒定律A外+A非保内＝E-E0由质点系的功能原理若A外+A非保内＝0E＝E0或E＝恒量机械能守恒定律:只有保守内力作功（或合外力和非保守内力作功为零）时，系统的机械能守恒。说明：kpEWE0内保即kpEWE0内保内保时，0当AΔEΔEΔEpk1.所以A内保是EP与EK之间转化的手段和度量。2.对于一个孤立系统（与外