黄金解题之二项式定理

【高考地位】二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及.因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的.其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数使用情景：求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数解题模板：第一步首先求出二项展开式的通项；第二步根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；第三步得出结论.例1.4(12)x展开式中第3项的二项式系数为（）A．6B．-6C．24D．-24【答案】A【变式演练1】二项式91()2xx展开式中，3x项的系数为．【答案】221【变式演练2】5)(xax的展开式中3x项的系数为20，则实数a．【答案】4【变式演练3】求42)43(xx的展开式中x的系数.【答案】768．类型二二项式系数的性质与各项系数和使用情景：二项式系数的性质与各项系数和解题模板：第一步观察题意特征，合理地使用赋值法；第二步区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；第三步得出结论.例2(1)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3(2)若x＋1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．【答案】(1)B；(2)56.【变式演练4】在312nxx的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．【答案】14.类型三二项式定理的应用使用情景：使用二项式定理处理整除问题解题模板：第一步通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；第二步再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；第三步得出结论.例3.设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12【答案】D.【变式演练5】S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数为________．【答案】7.【高考再现】1.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则6()xi的展开式中含x4的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20ix4（D）20ix4【答案】A2.【2016年高考北京理数】在6(12)x的展开式中，2x的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.3.【2016高考新课标1卷】5(2)xx的展开式中,x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】104.【2016高考天津理数】281()xx的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】565.【2016高考山东理数】若（ax2+1x）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.【答案】-26.【2015高考天津，理12】在614xx的展开式中，2x的系数为.【答案】15167.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）（1）求3467–47CC的值；（2）设m，nN*，n≥m，求证：[来源:学科网ZXXK]（m+1）Cmm+（m+2）+1Cmm+（m+3）+2Cmm+…+n–1Cmn+（n+1）Cmn=（m+1）+2+2Cmn.【答案】（1）0（2）详见解析【反馈练习】1．【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，12】821xx的展开式中的7x的系数是．【答案】562.【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，13】4111xx的展开式中2x项的系数为．【答案】23.【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），13】二项式61(2)xx的展开式中常数项为.【答案】604．【河南百校联考2017届高三9月质检，14】若1021xaxx的展开式中6x的系数为30，则2031axdx____________．【答案】105．【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，10】若二项式2651()5xx的展开式中的常数项为m，则21(2)mxxdx（）A．13B．13C．23D．23【答案】D6．【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，15】61(21)()xxx的展开式中3x的系数为______________.【答案】307．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，16】将三项式21nxx展开，当1,2,3,n时，得到如下左图所示的展开式，右图所示的广义杨辉三角形：0211xx第0行112211xxxx第1行1112243212321xxxxxx第2行12321[来源:学+科+网Z+X+X+K]32654321367631xxxxxxxx第3行136763142876543214101619161041xxxxxxxxxx第4行14101619161041……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有21k个数．若在5211axxx的展开式中，8x项的系数为75，则实数a的值为___________．【答案】28．【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】9)2(xx展开式中除常数项外的其余项的系数之和为.【答案】53779．【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考数学（理）试题】已知nxx2的展开式中的第四项为常数项，则n.【答案】910．【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考数学（理）试题】在6212xx的展开式中，含7x的项的系数是（）A．60B．160C．180D．240【答案】D11．【2016-2017学年江西崇仁县二中高二上期中数学（理）试卷】若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________．【答案】1012．【2017届贵州遵义市高三上期中数学（文）试卷】求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．13.【2016-2017学年河北定州中学高二周练10.9数学试卷】已知nmxxxf4121)(*(,)mnN的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含2x项的系数最小值