高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试

奇偶性1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）A．31a，b＝0B．a＝－1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝3，b＝03．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）A．y＝x（x－2）B．y＝x（｜x｜－1）C．y＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）A．－26B．－18C．－10D．105．函数1111)(22xxxxxf是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数6．若)(x，g（x）都是奇函数，2)()(xbgaxf在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－37．函数2122)(xxxf的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若11)()(xxgxf，则f（x）的解析式为_______．10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．14.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1．解析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，xx)(为奇函数，∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·)(x满足奇函数的条件．答案：A2．解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴31a．故选A．3．解析：由x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．∴,,)0()0()2()2()(xxxxxxxf即f（x）＝x（|x|－2）答案：D4．解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0．答案：B6．解析：)(x、g（x）为奇函数，∴)()(2)(xbgxaxf为奇函数．又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，∴f（x）－2有最大值3．∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．9．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，可得11)()(xxgxf，联立11)()(xxgxf，∴11)1111(21)(2xxxxf．答案：11)(2xxf10．答案：011．答案：21m。12．证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，∴f（x）＝x3－2x2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323xxxxxxxxf。14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即单调减函数．15．解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．函数值域的八大求法方法一：观察法例1.求函数2x4y的值域。解析：由]2,0[x4,0x40x222知及。故此函数值域为]2,0[。方法二：不等式法例2.求函数)0x(x)1x(y222的值域。解析：4x1x2x1x2xx)1x(y22224222，此函数值域为),4[。方法三：反函数法例3.求函数)4x(2x1xy的值域。解析：由2x1xy得y11y2x。由4x，得4y11y2，解得1y25y或。此函数值域为),25[)1,(。方法四：分离常数法例4.求函数6x13x6)1x(6y2422的值域。解析：：6x13x66x12x66x13x6)1x(6y2424242225242511x613x6116x13x6x122242。从而易知此函数值域为]1,2524[。评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。注意形如)adbc,0a(baxdcxy的值域为),ac()ac,(。方法五：判别式法例5.求函数1xx1xy22的值域。解析：原式整理可得0)1y(yxx)1y(2。当01y即1y时，2x原式成立。当01y即1y时，0)]1y()[1y(4y2，解得552y552y或。综上可得原函数值域为),552[]552,(。评注：此方法适用于x为二次的情形，但应注意01y时的情况。方法六：图象法例6.求函数1x1y)0x(1的值域。解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为),1(]2,(。方法七：中间变量法例7.求函数5x3xy22的值域。解析：由上式易得1y3y5x2。由1y53y,01y3y5,0x2或解得知。故此函数值域为),1(]53,(。方法八：配方法例8.求函数3x2xy的值域。解析：因为22)1x(y2，故此函数值域为),2[。y012x-1(1,-1)-2