第一章 张量初步及应力、应变基本方程

岩土塑性力学参考文献：龚晓南：土塑性力学徐秉业：塑性理论引论陆明万等：弹性理论基础孙炳楠等：工程弹塑性力学郑颖人等：岩土塑性力学原理教师：徐平下载：:13733189057第一章张量初步及应力、应变基本方程1.1张量初步1.2一点的应力状态1.3最大(最小)剪应力1.4应力张量的分解1.5八面体应力、等效应力1.6应力圆和洛德(Lode)参数1.7应力空间1.8应力路径1.9应变张量的分解1.10应变空间与应变π平面1.11各种剪切应变间的关系1.12应力和应变的基本方程力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向性的物理量称为标量，通常用一个字母来表示，例如温度T、密度ρ、时间t等。既有大小又有方向的物理量称为矢量，常用黑体字母(或字母上加一箭头)来表示，例如矢径r()和力F()等。具有多重方向性的的更为复杂的物理量称为张量，常用黑体字母或字母下加一横表示，例如一点的应力状态可以用应力张量σ()表示，它具有二重方向性，是二阶张量，而标量和矢量分别为零阶和一阶张量。rF1.1张量初步矢量可以在参考直角坐标系下分解，以位移矢量u为例，它可以表示成位移分量ux、uy、uz与基矢ex、ey、ez的乘积之和的形式：31122331xxyyzziiiueueueueueueueu(1-1)x1=xuu2(uy)u3(uz)u1(ux)e2(j)e1(i)e3(k)x2=yx3=zo图1.1位移矢量的分解指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示，这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉丁字母i，j，k，···均表示三维指标，取值1，2，3，例如，采用ui可以表示u1、u2和u3三个数值，这种名字加指标的记法称为指标符号。指标符号的正确用法：(1)三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。指标符号可缩写成xi，其中x1=x，x2=y，x3=z。引入爱因斯坦求和约定：如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，该重复指标称为哑指标，或简称哑标。用哑标代替求和符号∑，则位移矢量u和点积a·b可表示成：u=uiei，a·b=aibi。显然，aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：a·b=b·a；由于哑标仅表示遍历求和，因此可以成对地任意换标，例如a·b=aibi=ajbj=akbk。(2)矢量a和b的分量可分别记为ai和bi，它们的点积为：31122331xxyyzziiiabababababababab(1-2)(3)对于各向同性的均质弹性体，物理方程可描述为：211221122112221221221xxxyzxyyxyzyzyxyzyxyxyxyxyyzyzyzyzzxzxzxzxEeGEeGEeGEGGEGGEGG112233kkxyz采用张量，则物理方程可表示：(1-3)i和j为自由指标，表示轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立，式中σij和εij分别表示9个应力和应变分量：2ijijkkijG112233122331213213,,,,,,xyzxyyzzxyxzyxz112233122331213213,,,,,,xyzxyyzzxyxzyxzk为哑标，δij为Kronecher符号：δij=1(i=j)，δij=0(i≠j)，根据场论，δij可以表示两个基矢的点积：δij=ei·ej注意：aibj表示9个数，而aibi则只是一个数。自由指标和哑标举例：31122331iiiiiababababab31122331ijjijjiiijababababab3311111212131311212122223323313132323333ijijijijijabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabc3222221122331iiiijaaaaa23221122331()iiiii3311111212131311212122222323313132323333ijijijijij的应用与计算示例如下：ij111122223333ijijiiaaaaa1122333ii(1)(2)111112121313212122222323222313132323333112233()()()3ijij(3)112233ijjkikikikik(4)()ijjiijjijjijijjnnnnn(5)(6)112233iijjjjjaaaaa(4)指标符号同样适用于微分关系。例如，三维空间中线元长ds和其分量dxi之间的关系：(ds)2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2可以写成：(ds)2=dxidxi。再如多变量函数f(x1,x2,x3)的全微分可写成。对于不计体力的平衡微分方程，则可表示成：(1-4)iifdfdxx000xyxxzxyyyzyzxzzxyzxyzxyz0ijjx更进一步可表示为：，这里下标“,j”表示对xj求偏导。,0ijj222xxyyzzyxxyyxyzyzzyxzxzzxuxuyuzuuyxuuzyuuzx则几何方程可表示成：12jiijjiuuxx更进一步得可表示成：,,12ijijjiuu在几何方程中，为了表示方便，在这里及以后的讨论中，统统采用ux、uy和uz来分别表示u、v和w。对于体积应变e：则可表示成：(1-6),iiiieu(1-5)(5)哑标只能成对地出现，若要对在同项内出现两次以上的指标遍历求和，必须：31112223331iiiiabcabcabcabc综上所述，能过哑标可把许多项缩成一项，通过自由指标又可把许多方程缩成一个方程。一般来讲，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个自由指标，它们的取值范围都是1~n，则更有nk个分量方程；在方程的某项中若现时出现m对取范围为1~n的哑指标，则此项表示了互相叠加的nm项。(6)一般来讲，由aibi=aici并不能推导得出bi=ci。1.2一点的应力状态图1.2一点的应力状态yxzxyzzxxzyzzyxyyx图1.3倾斜面上的应力xyzNτzyτzxσzσxτxzτxyσyτyxτyzo应力张量：xxyxzijyxyyzzxzyz或：111213212223313233ij倾斜面上沿x方向的力为yxznτzxσxτyxpxγβαcoscoscosxxyxzxxxyxyzxzpnnn同理，可以得到张量方程：iijjpn如果作用在这个倾斜面上只有正应力，而没有(1-8)(1-7)剪应力，则倾斜面上的总应力就是主应力，倾斜面的方向就是主应力方向，用σ表示，它在各坐标轴上的投影为：iipniijjpniipn0ijjiijijjnnn式(1-9)有零解的条件是：(1-10)0ijij将代入，可得：(1-9)00xxyxzijijyxyyzzxzyzyyzxxyxxzxyzzyzyxyzxz(1-11)312300xxyxzyxyyzzxzyzIII(1-12)12222312xyziiyyzxxyxxzzyzyxyzxzxyyzzxxyyzzxijijiijjxxyxzyxyyzijzxzyzIII或33111112121313212122222323112222223131323233332ijijijijijxyzxyyzzx22221122332iijjxyzxyyzzx方程称为应力状态的特征方程，它有三个实根，并规定，当坐标方向改变时，应力分量将改变，但主应力的数值不变，故I1、I2和I3又称为应力张量不变量，I1、I2和I3通常又分别叫做应力张量第一不变量、第二不变量和第三不变量，另外还可以证明三个主应力方向是相互垂直的。根据方程，I1、I2和I3又可以写成：12331230III0112321223313123III(1-13)1.4主应力分布图例题：已知已知一点的应力状态为以下一组应力分量所确定：σx=3，σy=0，σz=0，τxy=1，τyz=2，τzx=1，应力单位为MPa。试求该点的主应力值。12222233628xyzxyyzzxxyyzzxxxyxzyxyyzxyyzzyxyzzxzyzIII331230360III1.3最大(最小)剪应力22222nxyznPPP根据，以及关系式可得倾斜面上的剪切应力：iijjpn22231211iinnnnnzyxnσ3σ1σ2pxγβα要使取得极值，则须：和2n210nn220nn(1-14)222222222213123231312323nnnn2222222112233112233nnnnnn122222222222131232313123232222213113123231312213131131232322131311312322224242nnnnnnnnnnnnnnnnn22131131232002nnn于是有：同理：2223213123202nnn(1-14a