《计算导数》导学案

第3课时计算导数导学固思...1.能根据定义,求函数y=c,y=x,y=x2,y=1x等的导数.2.熟记函数y=c,y=x,y=x2,y=1x等的导数.3.运用y=c,y=x,y=x2,y=1x等的导数公式解决问题.4.熟记基本初等函数的导数公式.导学固思...根据导数的概念,我们知道可以用定义法求函数f(x)=x3的导数,那么是否有公式法来求它的导数呢?导学固思...由导数的定义求f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=1x的导数.对于f(x)=x,f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx==1,即f'(x)=x'=1.对于f(x)=x2,f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→0(x+Δx)2-x2Δx=limΔx→02Δx·x+(Δx)2Δx=,即f'(x)=(x2)'=.对于f(x)=1x,f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→01x+Δx-1xΔx=limΔx→0x-(x+Δx)x(x+Δx)Δx=limΔx→0-1x(x+Δx)=.即f'(x)=(1x)'=-1x2.问题12x2xlimΔx→0(x+Δx)-xΔx-1x2导学固思...(1)导函数的概念:如果一个函数f(x)在区间(0,b)上的每一个点x处都有导数,导数值记为f'(x),f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的导函数,简称导数.(2)几个常用函数的导数.原函数导函数f(x)=cf'(x)=0f(x)=xf'(x)=1f(x)=x2f'(x)=2xf(x)=1xf'(x)=f(x)=xf'(x)=问题212x-1x2导学固思...基本初等函数的导数公式.(1)c'=(c∈R);(2)(xn)'=(n∈Q);(3)(sinx)'=,(cosx)'=;(4)(ex)'=,(ax)'=;(5)(lnx)'=,(logax)'==1xlna.问题3利用导数的定义求导与导数公式求导的区别.导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是由定义的,所以函数求导总是要归结为求,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后,求函数的导函数就可以用公式直接求导了,简洁迅速.问题40exnxn-1cosx-sinx1xax·lna1x·logae极限极限导学固思...下列结论不正确的是().A.若y=0,则y'=0B.若y=5x,则y'=5C.若y=x-1,则y'=-x-2D.若y=x12,则y'=12x121D【解析】当y=x12时,y'=(x12)'=12x-12,D不正确,故应选D.若函数f(x)=x,则f'(1)等于().A.0B.-12C.1D.122D【解析】f'(x)=(x)'=12x,所以f'(1)=12×1=12,故应选D.导学固思...3若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为.【解析】由导数的物理意义可知:y'=1可以表示某物体作瞬时速度为1的匀速运动.某物体作瞬时速度为1的匀速运动.求曲线y=x4在点P(2,16)处的切线方程.【解析】点P(2,16)在曲线上,k=f'(2)=32,切线方程为y-16=32(x-2),即32x-y-48=0.4导学固思...直接用导数公式求函数的导数(1)求下列函数的导数:①y=x12;②y=1x4;③y=x35.(2)设f(x)=10x,则f'(1)=.【解析】(1)①y'=(x12)'=12x11;②y'=(1x4)'=(x-4)'=-4x-5=-4x5;③y'=(x35)'=(x35)'=35x-25=35x25.(2)∵f(x)=10x,∴f'(x)=10xln10,∴f'(1)=10ln10.10ln10导学固思...7导数的综合应用若曲线y=x-12在点(a,a-12)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于().A.64B.32C.16D.8【解析】y'=-12x-32,∴k=-12a-32,切线方程是y-a-12=-12a-32(x-a).令x=0得y=32a-12,令y=0得x=3a,∴三角形的面积是S=12×3a×32a-12=18,解得a=64.故选A.A导学固思...f'(a)和[f(a)]'含义要搞清已知f(x)=sinx,求f'(a)和[f(a)]'.【解析】f'(a)=[f(a)]'=f'(x)x=a=cosxx=a=cosa.[问题]f'(a)与[f(a)]'的含义相同吗?[结论]f'(a)与[f(a)]'的含义不同.上面的解法是将f'(a)与[f(a)]'混为一谈.于是,正确解答为:由于f'(x)=(sinx)'=cosx,而f'(a)表示导数f'(x)在x=a处的值,故f'(a)=cosa;[f(a)]'表示函数f(x)在x=a时的函数值f(a)=sina(常数)的导数,因此[f(a)]'=0.导学固思...求下列函数的导数:(1)y=x13;(2)y=1x3;(3)y=x4;(4)y=log3x;(5)y=sinx;(6)y=1x25.【解析】(1)y'=(x13)'=13x13-1=13x12.(2)y'=(1x3)'=(x-3)'=-3x-3-1=-3x-4.(3)y'=(x4)'=(x14)'=14x14-1=14x-34.(4)y'=(log3x)'=1x·log3e=1xln3.(5)y'=(sinx)'=cosx.(6)y'=(1x25)=(x-25)'=-25x-25-1=-25x-75.导学固思...求证:在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数(如图).【解析】因为xy=a2,所以y=a2x,所以y'=(a2x)'=-a2x2,函数y=a2x在图像上的任一点(x0,y0)处的切线斜率k=-a2x02,y0=a2x0,所以切线方程是y-y0=k(x-x0),即y-a2x0=-a2x02(x-x0),令x=0,得y=2a2x0,令y=0,得x=2x0,所以S=12|x|·|y|=12|2a2x0|·|2x0|=2a2,为常数.即在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.导学固思...(1)若函数f(x)=x3,则[f(2)]'等于().A.8B.12C.1D.0(2)已知f(x)=x2+3xf'(2),则f'(2)=.-2D【解析】(1)因为f(2)是常数,所以[f(2)]'=0.注意区分[f(2)]'与f'(2).(2)由题意,得f'(x)=2x+3f'(2),∴f'(2)=2×2+3f'(2),∴f'(2)=-2.导学固思...1.已知f(x)=xα,若f'(-1)=-2,则α的值等于().A.2B.-2C.3D.-3A【解析】f'(x)=α·xα-1,∴f'(-1)=α·(-1)α-1=-2,代入验证得α=2.2.曲线y=x2在点P处的切线斜率为k,当k=2时P点坐标为().A.(-2,-8)B.(-1,-1)C.(1,1)D.(-12,-18)C【解析】设点P的坐标为(x0,y0),∵y=x2,∴y'=2x.∴k=y'|x=x0=2x0=2,∴x0=1,∴y0=x02=1,即P(1,1),故应选C.导学固思...3.曲线y=x34在点Q(16,8)处的切线的斜率是.【解析】∵y=x34,∴y'=34x-14,∴y'|x=16=38.384.求下列函数的导数:(1)y=log4x3-log4x2;(2)y=2x2+1x-2x;(3)y=-2sinx2(2sin2x4-1).【解析】(1)∵y=log4x3-log4x2=log4x,∴y'=(log4x)'=1xln4.(2)∵y=2x2+1x-2x=2x2+1-2x2x=1x,∴y'=(1x)'=-1x2.(3)∵y=-2sinx2(2sin2x4-1)=2sinx2(1-2sin2x4)=2sinx2cosx2=sinx,∴y'=(sinx)'=cosx.导学固思...