初等数学-人民出版社-第四章讲解

第四章基本初等函数函数幂函数、指数函数和对数函数三角函数反三角函数和三角方程任意三角形的解法初等函数初等函数由常数和基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.基本初等函数1、幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy当0时，函数是严格单调增加的；当0时，函数是严格单调减少的；无论取何值，图形都经过(1,1)点。特性：2、指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey特例：指数函数的图象和性质(见下表)在R上是减函数(4)在R上是增函数(3)过点(0，1)，即x＝0时，y＝1(2)值域(0，＋∞)(1)定义域：Ra10a1性质图象例，证明：函数2()5xxfx在区间1(,)2上是减函数。证明：设121,2xx则12120,1,xxxx故211()xx-222()xx=12()[1xx12()xx]〉0211221122222()()012()5551()5xxxxxxxxfxfx，又2()0fx，12()()fxfx，函数2()5xxfx在区间1(,)2上是减函数。3、对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(对数函数的图象和性质a10a1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1，0)，即x＝1时，y＝0(4)在(0,+∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数1.对数恒等式叫做对数恒等式010logNaaNaNa，且2.对数的性质(1)负数和零没有对数；(2)1的对数是零，即loga1=0；(3)底的对数等于1，即logaa=14.对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，所以y=logax的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称.3.对数的运算性质如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么loglogloglogloglogloglogaaaaaanaaMNMNMMNNMnM(1)(2)(3)5换底公式注意换底公式在对数运算中的作用：①公式的顺用和逆用；②由公式和运算性质推得的结论的作用.bNNaablogloglogbNNaablogloglogbmnbanamloglog448392233456781.(log3log3)(log2log2)log3212.lg25lg2lg0.1log9log223.log4log5log6log7log8log9答案：0，－1/2，2例1.a,b,c0,求证：22233log()2log()1abcabcabbcac2222222提示：化成3(a+b+c)(a+b+c)即a+b+c3321.5,.xxxxxaaaaa如果求21/5252.(log5)3log504xx解方程：511,55211333.loglog(2)xx解不等式(2,1)(2,)答案：1.(1/2，1)2..D1.若函数y＝(log(1/2)a)x在R上为减函数，则a∈______.2.如图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()(A)a＜b＜1＜c＜d(B)a＜b＜1＜d＜c(C)b＜a＜1＜c＜d(D)b＜a＜1＜d＜c4.若loga2＜logb2＜0，则()(A)0＜a＜b＜1(B)0＜b＜a＜1(C)1＜b＜a(D)0＜b＜1＜aB作业习题4.2(P99)1，2，3，4（更正），54.3三角函数1.角的概念的推广所有与α角终边相同的角的集合S={β|β＝α+k·360°，k∈Z}象限角。2.弧度制任一个已知角α的弧度数的绝对值|α|＝l/r(l是弧长，r是半径)，1°＝π/180弧度，1rad=(180/π)°≈57.30°＝57°18′弧长公式l=|α|r，扇形面积公式S＝1/2lr基本概念3.任意角三角函数的定义设α是一任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，P与原点距离是r，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y.4.三角函数值的符号sinα与cscα，一、二正，三、四负，cosα与secα，一、四正，二、三负，tanα与cotα,一、三正，二、四负5.同角三角函数的基本关系式①倒数关系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1，tanαcotα＝1②商数关系：tanα=sinα/cosα，cotα＝cosα/sinα③平方关系：sin2α+cos2α＝1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α1.sin(1560)例sin(1560)sin(1560)3sin(4360120)sin(120)222(1cos)tan(1sin)cot2sincostancotxxxxxxxx原式＝222.sintancoscot2sincosxxxxxx例化简练习22222225251.costan()34cos30sin452.lg()lg2sin60sin45cos30cos453.(sincos)(cossin)11114.1sin1cos1sec1cscababxxxx25求值sin6答案：0，1，a2+b2,22.已知角α的终边过点P(-5，-12)，则cosα=_______，tanα=_______.-5/1312/51．若3sin5，且是第二象限角，则tan的值等于？34333.sincos(1),sincos,tancot.mm已知求222(3),21mmm4.已知0x，43且lgcotx-lgcosx=lgsinx-lgtanx+2lg3-lg2，2求cosx-sinx的值。2213－6.诱导公式α+k·360°(k∈Z)，-α，180°±α，360°-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.n·90°±α(n∈Z)诱导公式满足十字诀“奇变偶不变，符号看象限”7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式βαβαβαsincoscossinsinβαβαβαsinsincoscoscosβαβαβαtantan1tantantan8.二倍角的正弦、余弦、正切公式2222sin22sincoscos2cossin2cos11sin，ααααα-αα--αααα2tan12tantan29.半角的正弦、余弦、正切公式αααααααααααsincos-1cos1sincos1cos12tan2cos12cos2cos-12sin，33sin33sin4sincos34cos3cos，αα-ααα-α(1)积化和差公式1sincos[sin()sin()];21cossin[sin()sin()];21coscos[cos()cos()];21sinsin[cos()cos()]2(2)和差化积公式:sinsin2sincos;22sinsin2cossin;22coscos2coscos;22coscos2sinsin.2222tan2sin1tan2221tan2cos1tan222tan2tan1tan2万能公式例1求下列各式的值。(1)sin(60)cos(45)cos(60)sin(45);(2)cos60sin15cos30sin75.1tan15(3)1tan15xxxx解：(1)原式sin[(60)(45)]xxsin(6045)62sin60cos45cos60sin454(2)sin15cos75,cos30sin60原式cos60cos75sin60sin75cos(6075)2cos1352(3)tan451故式子可以化为：tan45tan151tan45tan15tan(4515)tan603例2求24coscoscos999的值。242sincoscoscos99992sin9224sincoscos9992sin944sincos994sin98sinsin19988sin8sin99解：原式=4.,coscos,5cos()3例3已知sin+sin=5求的值。解：把已知式子平方相加，得2+2(coscos+sinsin)=11即：cos(-)=-2和与差三角公式tan60tan15tan(6015)tan4511tan60tan15原式＝tan151tan1533例4，化简sin10sin30sin50sin70例5，化简11[(cos60cos40)]sin7022111[sin70(sin110sin30)]422116原式6.sin2coscos21,(0,),sin,cos.22例已知sin2求22cos(2sin1)(sin1)06提示：倍角公式23sincoscoscoscos,,sin0222222sin2nnnnxxxxxxnNx例7证明：1sinsin22nnxx提示：左例8.证明：对任一实数x有下列不等式成立174cos23sin8xx2317cos23sin2(sin)48sin1,cos23sin4xxxxxx提示：316sin-α2.若α是锐角，，则cosα的值等于()(A)(B)(C)(D)313261-62616241321.已知x∈(-π/2，0)，cosx=4/5，则tan2x=()(A)7/24(B)-7/24(C)24/7(D)-24/7DA1.2证明题：已知tan,tan是x+6x+7=0的两个根，求证：sin(+)=cos(+).2.三角形ABC中，已知2cosBsinC=sinA，求证：三角形ABC为等腰三角形。3.tantan(tantan)cot()1coscos74.sin2sin4sin62sin正弦函数xysinxysin三角函数的图形及性质xycosxycos余弦函数正弦函数y=sinx定义域是R，值域是[-1,1]，在x=2kπ-π/2(k∈Z)时取最小值-1，在x=2kπ+π/2(k∈Z)时，取最大值1.余弦函数y=cosx定义域是R，值域是[-1，1]，在x=2kπ(k∈Z)时，取最大值1，在x=2kπ+π(k∈Z)时，取最小值-1正切函数xytanxytanxycot余切函数xycot正切函数y=tanx定义域是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)，值域是R，无最值.asinx+bcosx型函数(其中φ由确定，φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定)xbaxbxasincossin22abtan1.单调性(1)y=sinx的单调增区间是[2kπ-π/2，2kπ+π/2](k∈Z)，减区间是[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z)(2)y=cosx的单调增区间是[2kπ+π，2kπ+2π](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ+π](k∈Z)(3)y=tan