高中数学一轮复习课件：定积分的计算与应用

考纲要求1.了解定积分的实际背景、定积分的基本思想及定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义.热点提示1.本节在高考中多以选择、填空题类型考查，属于中低档题．2．重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理．3．注重定积分与其他知识的结合，如三角函数、立体几何、解析几何等．4．利用定积分求曲边梯形面积、变速直线运动的物体的路程及变力做功.•1．定积分的定义•(1)一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的．•(2)求曲边梯形面积的步骤：•①；②；③；④．连续函数分割近似代替取极限求和•(3)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b.将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做，记作.函数f(x)在区间[a，b]上的定积分•2．定积分的性质3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成F(x)|ba，即abf(x)dx＝＝F(b)－F(a)．微积分基本定理4．定积分在几何中的应用(1)当x∈[a，b]有f(x)0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝.(2)当x∈[a，b]有f(x)0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝.(3)当x∈[a，b]有f(x)g(x)0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝.5．定积分在物理中的应用(1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)〔v(t)≥0〕在时间区间[a，b]上的定积分，即.(2)变力做功公式一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)(单位：m)，则力F所做的功为W＝.1．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围成的图形的面积为()A.154B.174C.12ln2D．2ln2•答案：D解析：路程s＝36v(t)dt，∵v(t)＝3t＋2，∴F(t)＝32t2＋2t.∴s＝F(6)－F(3)＝932＝46.5m.•2．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3s～6s间的运动路程为()•A．46mB．46.5m•C．87mD．47m•答案：B•3．下图中阴影部分的面积S＝________.解析：由y＝5－x2，又A点纵坐标为1，得A(2,1)．∴题图中阴影部分的面积S＝02(5－x2)dx－2×1＝5x－x33|20－2×1＝5×2－13×8－2＝163.解析：由题意，知力F关于弹簧伸长的长度x的关系式为F＝12x，弹簧伸长12cm时克服弹力做的功W＝∫0.12012xdx＝x24|0.120＝14×(0.12)2＝0.0036(焦耳)．•4．若1N的力使弹簧伸长2cm，则使弹簧伸长12cm时克服弹力做的功为________．•答案：0.0036焦耳【例1】计算下列定积分：(1)12(2x2－1x)dx；(2)23(x＋1x)2dx；(3)(sinx－sin2x)dx.•思路分析：先用定积分的性质将其分解成简单的定积分，再利用微积分基本定理求解．通常运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．•(1)求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数．•(2)求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应掌握一些常见函数的导数．•一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.•变式迁移1计算下列定积分(1)当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，用求曲边梯形面积的代数和的方法求定积分．(2)由定积分的几何意义和奇偶函数的对称性可知有以下两个结论：设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则•变式迁移2计算下列定积分•【例3】如右图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．•思路分析：先求y＝x－x2与x轴所围图形的面积，再求y＝x－x2与y＝kx所围图形的面积；后者是前者的一半，列等式求出k值．•解：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积•要把定积分与利用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可以为正数，也可以为负数或零；而平面图形的面积在一般意义下总是为正，因此当f(x)≤0时，要通过绝对值处理成正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后再相加.•变式迁移3一辆汽车的速度—时间曲线如下图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程．【例4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝f(1)＝0，且f(x)的最小值是－14.(1)求f(x)的解析式；(2)设直线l：y＝t2－t(其中0t12，t为常数)，若直线l与f(x)的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S1(t)，直线l与f(x)的图象所围成封闭图形的面积是S2(t)．设g(t)＝S1(t)＋12S2(t)，当g(t)取最小值时，求t的值．解：(1)由二次函数图象的对称性，可设f(x)＝a(x－12)2－14.又f(0)＝0，所以a＝1.故f(x)＝x2－x.(2)据题意，直线l与f(x)的图象的交点坐标为(t，t2－t)．由定积分的几何意义知：g(t)＝S1(t)＋12S2(t)令g′(t)＝0，则t＝14，或t＝12(不合题意，舍去)．当t∈(0，14)时，g′(t)0，g(t)单调递减；当t∈[14，12)时，g′(t)≥0，g(t)单调递增．所以，当t＝14时，g(t)有最小值．当一元二次方程的根为x1，x2时，对应的二次函数可设为y＝a(x－x1)(x－x2)，这是解决(1)的依据．由(1)的结论，利用定积分可以方便地计算出面积S1(t)与S2(t)，从而得到g(t)＝S1(t)＋12S2(t)．在计算面积时，要特别关注“知识原理”中第4条的使用条件，一般地，我们可以通过画草图帮助分析，尽量避免出现符号上的差异．另外，在复习过程中，要注意从定积分公式、微积分基本定理的推导过程中，仔细体会“以直代曲”“以静制动”的基本思想.•变式迁移4在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．所以阴影部分面积S为S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．∵S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－12)＝0时，得t＝0，t＝12.∴当t＝12时，S最小，且最小值为S(12)＝14.•1．定积分的概念应注意的问题•(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即•(2)定义中区间的分法和ξi的取法都是任意的•(3)在定积分中限定下限小于上限，即ab.•2．求定积分的方法•(1)利用定义求定积分(定义法)．•(2)利用微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)求定积分步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．•(1)用定义法求定积分太繁琐，很少使用．•(2)因为[F(x)＋c]′＝F′(x)＝f(x)，故导数为f(x)的函数有无数个，在用微积分基本定理求定积分时，只写一个最简单的，不再加任意常数c.•3．求定积分的常用技巧•(1)对被积函数，要先化简，再求积分．•(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．•(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．