2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(1)

1/72017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1）姓名_______一、填空题1、已知函数1)1(ln)(22axxaxf)0(a，则)1(ln)(lnafaf____________.2、A,B两点分别在抛物线xy62和1)2(:⊙22yxC上，则AB的取值范围是____________.3、若20tan3tanβ，则的最大值为____________.4、已知△ABC等腰直角三角形，其中∠C为直角，AC=BC=1，过点B作平面ABC的垂线DB，使得DB=1，在DA、DC上分别取点E、F，则△BEF周长的最小值为____________.5、已知函数xxxf3)(3，对任意的2,2m，0)2()8(xfmxf恒成立，则正．实数．．x的取值范围为____________.2/76、已知向量c,b,a满足)(3::2||:||:||*Nkkcba，且)(2bcab，若为c,a的夹角，则cos的值为____________.7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________.二、解答题9.(本小题满分14分)在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，向量BCAsin,sinsinp，向量),(abcaq，且满足qp.(Ⅰ)求△ABC的内角C的值；(Ⅱ)若c=2，2sin2A+sin(2B+C)=sinC，求△ABC的面积.3/710.（本小题满分14分）已知数列na满足：nnnaa,aa22211.(1)求证：数列)1lg(na是等比数列，并求na的通项公式;(2)若211nnnaab，且数列nb的前n项和为nS，求证：1nS.11.(本小题满分14分)设aaxexfx)(.（e是自然对数的底数）(Ⅰ)若0)(xf对一切1x恒成立，求a的取值范围；(Ⅱ)求证：211008)20162015(e.4/712.(本小题满分15分)设正数x,y满足yxyx33，求使122λyx恒成立的实数的最大值.13.(本小题满分15分)已知椭圆12:22yxC及点)21,1(P，过点P作直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B两点分别作C的切线交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程；(2)求△ABQ的面积的最小值.5/72017年高中数学竞赛模拟试卷（1）答案1.【解析】22)1ln(2)1ln()1ln()()(22222222xaxaaxxaaxxaxfxf.2.【解析】由于1ACAB，则只需要考虑AC的范围.，故又2,0,3)1(426)2()2(min222222ACxxxxxxyxAC故AB的取值范围为，1.3.【解析】6tan33tan3tan12tan31tan2tantan1tantantan2α.2020παπαβ，.6βα4.【解析】由题意可知，4CDB，且∠BDA与∠CDA之和为2.如图，将侧面BDA和侧面CDB分别折起至面DAB1和DCB2，且与侧面ADC位于同一个平面上.则△BEF周长的最小值即面CDBAB21上两点21,BB之间的线段长.由前面的分析可知，43422121πππCDBADCDABDBB，由余弦定理可得，.DBBDBDBDBDBBB2222211cos22121222121所以，△BEF周长的最小值为22.5.【解析】xxxf3)(3为奇函数且为增函数0)2()8(xfmxf等价于)2()2()8(xxffmxf即xmx28即082xmx对任意的2,2m成立即08220822xxxx，所以4020xx，即0x26.【解析】由)(2bcab得cab3231所以cacab949491222，又3::2||:||:||kcba，所以]964,916[cos9249402k，又*Nk，所以k=2，所以αcos的值为61.7.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为36，故容器棱长的最小值为62436324.8.【解析】法1：如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为21；如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为31；如果6/7只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为41；以此类推，可知将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为61；法2：直接从10个小球入手分类讨论.9.【解析】(Ⅰ)由题意qp，所以，0sinsinsinBabCAca.由正弦定理，可得0babcaca.整理得abbca222.由余弦定理可得，212cos222abcbaC，又，C0，所以，3πC……6分(Ⅱ)由CCBAsin2sin2sin2可得，ABAπBAAsinsincossin4.整理得，ABABABAAcossin2sinsincossin4.当0cosA时，2πA，此时，3323cot2πb.所以△ABC的面积为33221△bcSABC当0cosA时，上式即为ABsin2sin，有正弦定理可得b=2a，又422abba，解之得，332a，334b，所以△ABC的面积为332sin21CabS△ABC.综上所述，△ABC的面积为332sin21△CabSABC.……14分10.【解析】(1)由已知得nnnaaa221，2111nnaa，因为21a，所以11na，两边取对数得nnaa1lg21lg1，即21lg1lg1nnaa，故1lgna为以lg3为首项，2为公比的等比数列，即3lg21lg1nna，即1312nna.……5分(2)法1：由nnnaaa221两边取倒数得2112111nnnaaa，所以12121nnnaaa，即1112nnnaab，……10分故1312122nnS，故1nS.……14分法2：)131131(2133213113122222211nnnnnnnb，则11312122nnS.11.【解析】(Ⅰ)1110)(xxeaeaxxfx，令1)(xexhx，则2)1()(xxexhx，由0)1()(2xxexhx得x0.所以h(x)在，0上单调递增，h(x)在(-1,0)单调递减.所以11)0()(xhxh，由此得：7/71a.又x=-1时，xeax1即为10ea，此时a取任意值都成立.综上得：1a.……8分(Ⅱ)201612016121100820161120162015)20162015(eee.由(Ⅰ)知，当a=1时0)(xf对一切1x恒成立，即1xex(x=0时取等号).取20161x，得20161201611e.即证得：211008)20162015(e.……14分12【解析】由正数x,y满足yxyx33，知0yx.令1yxt.不等式122λyx等价于yxyxλyx3322，等价于yxyyxxyxyxλy322332，等价于232yyxyyxλ等价于112222ttyxyyxλ.因为22212)1(2212)1(211)(2tttttttf，等号仅当121tt，即21t时成立，所以，实数的最大值为222.……15分13.【解析】(1)设),(),,(),,(002211yxQyxByxA，则12:11yyxxQA过Q，有120101yyxx；……①12:22yyxxQB，有120202yyxx，……②故直线12:00yyxxAB过点)21,1(P，则有21220000yxyx……③故Q的轨迹方程为x+y=2.……5分(2)对直线AB，当斜率不存在时，即为x=1，此时)0,2(),22,1(),22,1(QBA221221△ABQS斜率存在时，设直线kkxyxkyAB21)1(21:.kkxyyx212222联立，消掉y得0)2322()21(2)12(222kkxkkxk.于是有12232212)12(22221221kkkxxkkkxx又①-②，得到0200kyx与③式联立，可解得)212,124(kkkQ.……10分