浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件

课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第三章三角函数、解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝__；(2)商数关系：tanα＝_____.1sinαcosα2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosα_______余弦cosα－cosαcosα_______sinα－sinα正切tanαtanα－tanα_______口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限cosα－cosα－tanα1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα等于()A．－513B．－1213C.513D.1213B[∵sinα＝513，α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1213.]3．(2017·陕西质检(二))若tanα＝12，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C.15D.35B[sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－1tan2α＋1＝－35，故选B.]4．sin750°＝________.12[sin750°＝sin(750°－360°×2)＝sin30°＝12.]5．已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)＝________.【导学号：51062098】－45[因为sinπ2＋α＝cosα＝35，α∈0，π2，所以sinα＝1－cos2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－45.]同角三角函数基本关系式的应用(1)已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为()A．－32B.32C．－34D.34(2)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625(1)B(2)A[(1)∵5π4＜α＜3π2，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.(2)∵tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋4tanαtan2α＋1＝1＋4×34342＋1＝6425，故选A.][规律方法]1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.[变式训练1]设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝_______.－105[∵tanθ＋π4＝12，∴1＋tanθ1－tanθ＝12，解得tanθ＝－13.∴(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋2tanθ＋1tan2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25.∵θ为第二象限角，tanθ＝－13，∴2kπ＋3π4＜θ＜2kπ＋π，∴sinθ＋cosθ＜0，∴sinθ＋cosθ＝－105.]诱导公式的应用(1)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}(2)已知tanπ6－α＝33，则tan5π6＋α＝________.(1)C(2)－33[(1)当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.(2)tan5π6＋α＝tanπ－π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.][规律方法]1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2]已知cosπ6－α＝33，则cos5π6＋α－sin2α－π6的值为________.【导学号：51062099】－2＋33[∵cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，sin2α－π6＝sin2－π6－α＝sin2π6－α＝1－cos2π6－α＝1－332＝23，∴cos5π6＋α－sin2α－π6＝－33－23＝－2＋33.]同角关系式与诱导公式的综合应用(1)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.(2)(2017·郑州质检)已知cosπ2＋α＝2sinα－π2，则sin3π－α＋cosα＋π5cos5π2－α＋3sin7π2－α的值为________．(1)－43(2)335[(1)由题意知sinθ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cosθ＋π4＞0，所以cosθ＋π4＝1－sin2θ＋π4＝45.tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝－1tanθ＋π4＝－cosθ＋π4sinθ＋π4＝－4535＝－43.(2)∵cosπ2＋α＝2sinα－π2，∴－sinα＝－2cosα，则sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝15.sin3π－α＋cosα＋π5cos52π－α＋3sin72π－α＝sin3α－cosα5sinα－3cosα＝8cos3α－cosα7cosα＝87cos2α－17＝335.][规律方法]利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[变式训练3](2016·浙江模拟训练卷(三))已知cosπ2＋α＝23，则sinα＝________，sinπ2＋2α＝________.－2319[由cosπ2＋α＝23，得sinα＝－23；sinπ2＋2α＝cos2α＝1－2sin2α＝19.][思想与方法]三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4等．(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．[易错与防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．