不等式证明中辅助函数的构造方法与技巧

大庆师范学院本科生毕业论文不等式证明中辅助函数的构造方法与技巧学院教师教育学院专业数学与应用数学研究方向数学教育学生姓名刘雨琳学号201101051311指导教师姓名李秀丽指导教师职称副教授2015年5月25日大庆师范学院本科毕业论文-I-摘要不等式的证明问题是高等数学学习中一类很重要的问题，有些不等式的证明问题可以运用我们所学的基础知识直接解决，但有些不等式成立需要借助于构造辅助函数，构造辅助函数证明不等式成立的方法有很多。本文简单介绍了几种在证明不等式时可以运用的构造辅助函数的方法和技巧，并且给出了在常见的几种不等式类型中这些方法的应用，主要就是通过构造出适合的辅助函数，将复杂的问题转变为基础的、简单的问题，提高解题的效率。关键词：不等式；构造；辅助函数；方法；技巧；大庆师范学院本科毕业论文-II-AbstractProvinginequalitiesisaclassofveryimportantproblemsinlearningHigherMathematics.Theproofofsomeinequalitiescanbesolveddirectlyusingwhatwehavelearnedthebasicknowledge,butsomeinequalitiescanbeestablishedbyconstructinganauxiliaryfunction,constructinganauxiliaryfunctionthatinequalityintotheestablishedmethodhasmuch.Thisarticlesimplyintroducesthemethodsandskillsofseveralinprovinginequalitiescanbeusedtoconstructtheauxiliaryfunction,andgivestheapplicationofthesemethodsinseveralcommontypesofinequality,mainlyisbyconstructingasuitableauxiliaryfunction,transformationofthecomplexissuesasbasis,asimpleproblem,improvetheirproblemsolvingefficiency.Keywords:inequality;structure;auxiliaryfunction;methods;techniques;大庆师范学院本科毕业论文-III-目录第一章前言...........................................................1第二章几种构造辅助函数的方法与技巧..................................22.1利用单调性法.....................................................22.2参数变易法.......................................................32.3变形法...........................................................42.4利用凸函数定义...................................................52.5利用詹森不等式...................................................62.6借助中值定理.....................................................7第三章构造辅助函数证明几类常见不等式................................93.1一般不等式的证明.................................................93.2含积分符号的不等式的证明........................................103.3含微分符号的不等式的证明........................................11第四章总结.........................................................12参考文献............................................................................................................................13大庆师范学院本科毕业论文-1-第一章前言不等式证明是数学中一类十分重要的问题，它可以运用到许多相关的知识，比如函数的性质，微积分等。关于不等式证明问题有许多的方法，如反证法、换元法、数学归纳法、构造法等，这些方法都具有很强的技巧性，做题时找出最适合的方法可以事半功倍。在解决不等式证明问题的过程当中，我们更多的采取借助构造辅助函数的方法，将函数与不等式结合起来，构造出恰当的辅助函数，再利用函数的基本性质，将问题变得简单化。掌握构造辅助函数的方法对我们提高解决问题的效率、灵活运用函数与不等式的关系有着重要的意义。那么，如何构造出适合的辅助函数，需要怎样的方法，运用怎样的技巧。本文首先会对几种构造辅助函数的方法进行阐述，其中包括在数学分析这门课中学到的有关微分中值定理、凸函数、以及詹森不等式等的知识都可以运用到这些方法中，借助这些知识构造出适合的辅助函数，进一步解决问题。接着本文还会介绍前面提到的构造辅助函数的方法在几种常见类型的不等式证明中的应用，并通过几个例题具体地分析，更准确的把握方法的精髓，并对其中涉及到的相关技巧进行总结，达到活学活用的目的。大庆师范学院本科毕业论文-2-第二章几种构造辅助函数的方法与技巧2.1利用单调性法这种方法是构造辅助函数经常可以用到的方法，将要证明的不等式进行移项（或恒等变形后移项），让不等式的一端为零，则另一端就是所要作的辅助函数。例1证明：证为单调递减函数，因此)(xF,0)()(0FxFx时，则当且例2证明当ba0时，aaaabbbbcos2sincos2sin.证取aaaaxxxxxFcos2sincos2sin)(，显然0)(aFxxxxFsincos)('，因为0sin)(''xxF，且0)('F，所以有),0(,0)(')('xFxF，从而)(xF在),0(内单调增加.于是0)()(aFbF，即得证.解决这类题目的步骤很明了，先作辅助函数，求出导数，判别函数的单调性，然后求函数在区间左右端点的函数值或在该区间的极限值，通常其中必有一个端点函数值或极限值为零，最后得出命题结论。例3当0x时，证明：.证设，则有,由于)(xF在区间,0上有0)('xF，则)('xF在),0(上是单调递增的.因此，当0x时，0)0()(FxF，即.xx121xxxF121)()11(12112121)('xxxxFxx121.21arctan0xxx时，当,0111)(',21arctan)(22xxxFxxxF则令,021arctanlim)(lim)(xxxFFxx.21arctan0,021arctanxxxxx时，亦即即大庆师范学院本科毕业论文-3-利用函数的单调性构造辅助函数，对结论形式进行变形，可以发现与其相关的辅助函数，同时要求对初等函数的性质有准确的掌握。例4已知证故这是一个关于t的减函数，故当2t时，有3212tt，即这道题解题的关键在于要知道通过换元将自变量变成，把结构不同的式子统一化，最后将函数转化成求关于变量t的函数。2.2参数变易法例5上二阶可导在设baxf,)(,且,0)(''xf求证：解将结论中的参数b变为变量x,得到辅助函数0)(aF，因为)(xf在ba,上二阶可导，且,0)('xf故即)(xF在ba,上单调递增，所以对于任意bax,，都有特别地，有,0)(bF即例5设)(xf在ba,上连续，证明：.证把上式中的参数b换成x，移项得，.2)(abfabdxxfbaxadttfaxfaxxF,)(2)()()(2')(212)('xfaxfaxaxfxF2')(212axfaxaxf2'22axfaxaxf,0)()(aFxF.2)()(baabfabdxxf.3211,0xxxxx求证：,21,2),0(12xxttxxxt且则设.3211xxxx)0(1xxxt),2(111111)(22tttttxxxxxf0)(''2212faxbabadxxfabdxxf)()())((220)()())((22dttfaxdttfxaxa)(''2212fax大庆师范学院本科毕业论文-4-令，因为所以函数)(x在ba,上单调递减，又因为0)(a，所以0)()(ab，故.在上面两道题的证明中，首要的是找出应该转变为变量的常数b，接着再运用不定积分对该形式进行进一步解决，在一般的定积分不等式证明中，参数变易法通常要改变函数的上（或下）限积分，将上（或下）限变成所设的参量，然后运用变限积分的求导（或是微分中值定理）等等，从而得到所要证明的结论，然后把参量变回为常量。采用此法进行构造辅助函数时，应注意要尽量要将未知的转化，根据性质，把其中的参量（或常量）变化为变量，构造出一个新的函数，使得结论也是该函数满足条件下的一种情况，最后根据函数的性质进一步推导出结论。2.3变形法例6设函数)(xf在1,0上可微，且当)1.0(x时，,0)0(,1)('0fxf求证证可将最终结论转化为造辅助函数通过运用参数变易法构，有利用柯西中值定理，得,1)())((103210dxxfdxxf,))(()(20dttfxFx,)()(03dttfxGx103210)())((dxxfdxxf)0()1()0()1(GGFF)(')('GF)()()(230fdttff)()(220fdttf)0()()(2)(222000ffdttfdttfdxxfdxxf)())((103210xaxadttfaxdttfx)()())(()(22xaxaxfaxdttfxfdttfx)()()()()(2)('22dtxfdttfdttfxfxaxaxa)()()()(222xadtxftfxftf)()()(2)(220)()(2xadtxftfdxxfabdxxfbaba)()())((22大庆师范学院本科毕业论文-5-.此例中如果直接采用微分中值定理来加以证明，处理起来会比较复杂，因为结论中出现了两个不同的函数，如果将结论的形式转化成除式，就可以采用柯西中值定理，而且在涉及到变形时，还巧妙的运用到了两个恒为零的项（根据已知条件构造出的），f(0)=0（题目中给出的已知条件），可以运用这两个变形是解决本题的重点之一。例7当10x时，求证.证因为10x，所以0arcsinx，则可将原不等式两边同乘xxarcsin1，再移项，得,0)1